计量经济学时间序列模型1

计量经济学时间序列模型1内容摘要：

1  1 L  2 L2 = 0 上式的两个根是 6 L1, L2 = 22211 2 4    设 1 = 1 / L1, 2 = 1 / L2 1, 2 = 22112 42    = 2 4 2211   (1) 则 (0) 式， xt =  1 xt1 + 2 xt2 + ut，改写为 (1 1 L) (1 2 L) xt = ut。 AR(2) 模型具有平稳性的条件是  L1 1,  L2 1（在单位圆外）或  1 1,  2 1 (2) 下面利用上述 平稳性条件分析 AR(2) 过程中参数  2，  1 的值域。 由 (1) 式 得 1 + 2 = 2 4 2211   +2 4 2211   =  1 (3) 1 2 = 42144 221   =  2 (4) 利用 (3)， (4) 式 得  2 +  1 = 1 2 + (1 +2) = 1 – (1 1) (1 2 )  2  1 = 1 2 (1 +2) = 1 – (1+ 1) (1+ 2 ) 无论 1, 2 为实数或共轭复数，由 1 1, 2 1 都有 (1 1) (1 2 ) 0，从而得  2 +  1 1 (5)  2  1 1 (6) 由 (2) 和 (4) 式 得 1  2 1 (7) (5)， (6)和 (7) 式是保证 AR(2) 过程平稳，回归参数  2,  1所应具有的条件。 若 (5)、 (6)和 (7) 式成立，则特征方程 1  1 L  2 L = 0 的根必在单位圆之外。 条件 (5)， (6)和 (7)给出的区域称为平稳域。 是一个三角形区域。 见下图阴影部分。 回归参数  2，  1的取值变化分三种情形讨论。 （ 1）当  12 + 4 2 = 0 时，有 L1 = L2为相等实数根。 2,  1取值在图中的抛物线上，称为临界阻尼状态。 (2) 当  12 + 4 2 0 时， L1, L2 为不等实数根。 2, 1 的值位于过阻尼区（自相关函数呈指数衰减）。 (3)当  12 + 4  2 0 时， z1, z2 为共轭复根。  2,  1 的值位于欠阻尼区（自相关函数呈正弦震荡衰减）。 图 1 平稳 AR(2) 过程 1, 2取值域（阴影部分） 7 例 2 有 AR(2) 模型 xt = xt 1 xt 2 + ut，试判别 xt 的平稳性。 解： 有 3 种方法。 ① 1ˆ + 2ˆ = ， 1ˆ + 2ˆ = ， 2ˆ = ，满足条件（ 5）（ 6）（ 7），所以 xt 是平稳的。 ② 由原式得 (1 L + L2 ) xt = ut。 特征方程为， (1 L + L 2 ) = 0 (1 L) (1 L) = 0 特征方程的两个根是， L1 = 5， L2 = 2。 因为两个 根都在单位圆之外，所以 xt 是平稳的。 ③ 从图 1看，因为（ 1, 2） = (, )，落在了 AR(2) 过程的平稳域，落在了过阻尼区，所以 xt 为平稳过程。 例 3：有 AR(2) 模型 x t = x t1 x t2 + ut ，试判别 xt 的平稳性。 解： ① 1ˆ + 2ˆ = ， 1ˆ + 2ˆ = ， 2ˆ = ，满足条件（ 5）（ 6）（ 7），所以 xt 是平稳的。 ② 由原式得， (1 L + L2 ) x t = ut ，特征方程为， (1 L + L2 ) = 0 因为特征方程中各项都是实数，所以其虚根必然是共轭的。 [1 ( ) L ] [1 ( + ) L ] = 0 特征方程的两个根是， 3 + i L1 = 1 = ))(( )( ii i  = 3 + i， 3 L2 = 1 = 3 i， 3 i 因为两个根都在单位圆之外，所以 xt是平稳的随机过程。 从图 1 看，因为（ 1, 2） = (, )，落在了 AR(2) 过程的平稳域，落在了欠阻尼区，所以 xt为平稳过程。 例 4：有 AR(2) 模型 x t = x t1 + x t2 + ut ，试判别 xt 的平稳性。 解： ① 1ˆ + 2ˆ = ， 1ˆ + 2ˆ = ， 2ˆ = ，条件（ 5）不满足， 所以 xt 是非平稳的。 ② 由原式得， (1 L L2 ) xt = ut ，特征方程为， (1 z z 2 ) = 0 (1 + z ) (1 z ) = 0 特征方程的两个根是， z1 = 2， z2 =。 因为 一 个根 在单位圆内，所以 xt是一个非平稳的随机过程。 ③ 从图 1看，因为（ 1, 2） = (, )，落在了 AR(2) 过程的非平稳域，所以 xt 为非平稳过程。 8 对于一般的自回归过程 AR (p)，特征多项式  (L) = 1 1 L 2 L2 … p Lp = (1 – G1 L) (1 – G2 L) ... (1 – Gp L) 则 xt 可表达为 xt =  1 (L) ut = (LGk 1 11+LGk 1 22+… + ) 1 LGkpput , () 其中 k1, k 2, …, k p 是待定系数。 xt 具有平稳性的条件是  1 (L) 必须收敛，即应有 | Gi | 1, i = 1, 2, …, p。 而 G11， G21， ...， Gp1 是特征方程 (L) = 0（见 () 式）的根，所以保证AR(p)具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆（半径为１）之外，即 |1/Gi| 1。 由上式可看出一个平稳的 AR(p)过程可以转换成一个无限阶的移动平均过程（ p 个无穷级数之和）。 保证 AR(p) 过程平稳的一个 必要但不充分的条件是 p 个自回归系数之和要小于 1，即 pi i1１ 重新分析随机游走过程。 因为 1 = 1，所以 随机游走过程是一个非平稳的随机过程。 42。