线代第二章答案

线代第二章答案内容摘要：

 由对角矩阵的性质知 naaaA10011211 12 解下列矩阵方程  (1)   12 6431 52 X  解    12 6431 52 1X    12 6421 53   80 232  (2)  234 311111 012112X  解 1111 012112234 311X   033 232101234 31131  32538122  (3)   10 1311 0221 41 X  解 11 11 0210 1321 41   X    21 0110 1311 42121  21 0103 66121  04111  (4)  021 102341010 100001100 001010 X  解 11010 100001021 102341100 001010  X  010 100001021 102341100 001010201 431012  13 利用逆矩阵解下列线性方程组  (1) 353 2522132321321321xxx xxxxxx  解 方程组可表示为 321153 522321321xxx  故  001321153 522321 1321xxx  从而有 001321xxx  (2) 0523 1322321321321xxx xxxxxx  解 方程组可表示为 012523 312111321xxx 故  305012523 312111 1321xxx  故有 305321xxx  14 设 AkO (k 为正整数 ) 证明 (EA)1EAA2  Ak1 证明 因为 AkO  所以 EAkE 又因 为 EAk(EA)(EAA2  Ak1) 所以 (EA)(EAA2  Ak1)E 由定理 2 推论知 (EA)可逆  且 (EA)1EAA2  Ak1 证明 一方面  有 E(EA)1(EA) 另一方面  由 AkO 有 E(EA)(AA2)A2  Ak1(Ak1Ak) (EAA2  A k1)(EA) 故 (EA)1(EA)(EAA2  Ak1)(EA) 两端同时右乘 (EA)1 就有 (EA)1(EA)EAA2  Ak1 15 设方阵 A满足 A2A2EO 证明 A 及 A2E都可逆  并求 A1及 (A2E)1 证明 由 A2A2EO 得 A2A2E 即 A(AE)2E 或 EEAA  )(21  由定理 2 推论知 A 可逆  且 )(211 EAA   由 A2A2EO 得 A2A6E4E 即 (A2E)(A3E)4E 或 EAEEA  )3(41)2( 由定理 2 推论知 (A2E)可逆  且 )3(41)2( 1 AEEA    证明 由 A2A2EO 得 A2A2E 两端同时取行列式得 |A2A|2 即 |A||AE|2 故 |A|0 所以 A 可逆  而 A2EA2 |A2E||A2||A|20 故 A2E 也可逆  由 A2A2EO A(AE)2E A1A(AE)2A1E )(211 EAA   又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E  (A2E)(A3E)4 E 所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1。