第五章光的衍射

第五章光的衍射内容摘要：

 时 时 (519) ，此即对应光强极 3 各光强次极大值的位置可由 0sin  dd 从而需 解α =tgα这一超越方程。 解之可得  1 b  2 b  3 b „ 经分析得各光强次极大的位置可近似地由下式决定： 2)12(sin   jb j=177。 1，177。 2，177。 3„ (520) 它们的光强为 0sinsin  b,sin  jb  I1= 0， I2=， I3= 考虑倾斜因子的作用，次极 大光强会更小。 可见衍射后的能量主要集中在中央衍射亮条纹内。 图 51 上面根据惠更斯 菲涅耳原理，导出了夫琅和费单狭缝衍射花样的光强公 (1)各级亮条纹光强不相等，中央最大值的光强最大，次极大值都远小于中央最大值，并随着级数 j 的增大而很快地减小，即使第一级次极大值也不到中央最大值的 5% (2)亮条纹到透镜中心所张的角度称为角宽度，中央亮条纹和其它亮条纹的宽度不相等。 中央亮条纹的宽 度等于 2λ /b，即等于其它亮条纹角宽度的二倍。 这个结论可证明如下：屏上各级最小值到中心的角宽度满足 (519)式。 在θ很小时，它可近似地写为 bj   (521) 由于在最小值的位置公式 (519)中， j 可取所有不为零的正负整数，而中央亮条纹以 j=177。 1的最小值位置为界限，故中央亮条纹的半角宽度为 b  b 22  (522) 若透镜 L2 的焦距为 f′ 2   bff  239。 239。 2 2  (523) 任何两相邻暗纹之间为一亮纹，故两侧亮纹的角宽度为 bbjj b    )1( (3)根据 (519)式，最小值处形成的每一侧的暗纹是等间距 的，而次极大值彼此则是不等间距的，不过随着级数 j的增大，次极大值也就愈 (4)以上仅对单色光进行讨论，如果用白光作为光源，由于衍射花样中亮暗条/b 产生的衍射花样除中央最大值外将彼此错开，于是观察到的衍射花样其中央亮纹的中心仍是白色的，但由于条纹的宽度是波长的函数，所以中央亮纹的边缘伴有彩 (5)以下讨论一下缝宽 b 对衍射花样产生的影响。 中央最大值的半角宽度与波长λ成正比，与缝宽 b 成反比，即 b  (524) 随着缝的加宽，λ和 b的比值减小 (见图 516)。 在 bλ的极限情况下，Δθ 0 ，这里可认为衍射花样压缩成为一条亮线， 这条 亮线正好是没有障碍物时光源经透镜 L L2后所成的像，由此可见，障碍物使光强分布偏离几何光学规律的程度，可以用中央最大值的半角宽度来衡量。 上式表明，只有在λ b，即λ /b1 的条件下，衍射现象才可忽略不计；反之，λ愈大或 b愈小，衍射现象就愈显著。 由于光的波长很短，在通常情况下，当狭缝的开口线度比波长大得多时，光可看作是直线传播。 (6)关系式 (524)又称为衍射反比律，它包含着深刻的物理意义。 首先，它反映了障碍物与光波之间限制和扩展的辨证关系，限制范围越紧，扩展现象愈显著，在何方限制，就在该方向扩展。 其次，它包含着放大，因为缝宽减小，就增大，不过这不是通常的几何放大，而是一种光学变换放大。 这正是激光测径和衍 ［例 52］波长为 m的一束平行光垂直照射在宽度为 20μ m的单缝上，透镜焦距为 20cm，求 (1)零级夫琅和费衍射斑的半角宽度和线宽； (2)若缝宽缩小到 8μ m 解： (1)λ= b=20μm f=20cm 根据公式可知零级夫琅和费衍射斑的半角宽度 bj 屏上中央零级条纹的线宽度根据 (521) 式得 mfl 22    (2)若缝宽缩小，则条纹向外扩展，条纹宽度变大，根据 (519)式  jb sin 其中 b′ =8μ m λ= j=3 r in 39。 339。 3   cmfl 39。 3/3   167。 5 人眼的瞳孔和大多数光学仪器中的透镜都是圆形边缘的，所以研究夫琅和费 在圆孔衍射的装置中，用激光作光源，平行光束垂直通过半径为 R 的圆孔光阑，在屏后透镜 L 图 517圆孔衍射的光强 分布为一阶贝塞尔函数，其公式为  20 2  mmJII p (525) 其中 m=(π Rsinθ )/ 以 m/π为横坐标，以 I/I0为纵坐标，则 (525)式可绘成图 518 所示的曲线。 定性地分析圆孔的夫琅和费衍射的图样，它是由中心亮斑和外围一些同心亮环组成。 衍射场中绝大部分能量集中在零级衍射斑内。 圆孔的零级衍射斑称为爱里斑。 根据 (525)式计算得，爱里斑的半角宽度为 DR  in 11  (526) 式中 R为圆孔的半径， D 若透镜 L 的焦距为 f′，则爱里斑的半径为 139。  tgfl 近似可得 39。 fDl  (527) 分析 (527)式可以看出，爱里斑的大小与孔径成反比。 当λ /D1时，爱里斑直径 ［例 53 解：人的瞳孔基本上是圆孔，直径 D在 2mm～ 8mm 之间调节，取波长λ =μ m， D=2mm，估算爱里斑 (最大 )的角半径为 39。 4   r adD 人眼基本上是球形，我们取 f=20mm，估算出视网膜上爱里斑的直径 mfd  142  即在 1mm2视网膜面元中，布满约 5400 ［例 54］氦氖激光器的出射窗口直径约为 1mm 解：氦氖激光器的波长为 6328oA (526)式可估算出衍射发散角39。 4   r adD 如果我们在 10km 以外接收的话，这束定向光束的光斑直径可达到。 这 167。 6 衍射光栅 一、光栅概述 任何具有空间周期性的衍射屏都可以看成衍射光栅。 光栅对 光的传播起着限制和能量重新分布的作用。 在一块光洁度很高的玻璃坯上刻上许多平行、等宽而又等距的刻痕，这就制成通常所用的光栅。 一般情况下，刻痕的数目是每毫米600 条至 1000 光栅又可分为透射光栅和反射光栅两种。 反射光栅是在光洁度很高的金属平面上刻出具有周期形状的反射面，它是利用反射光而产生 光栅是一种很好的分光元件，它广泛地应用于分光仪器和光谱仪器中。 光栅 二、实验装置与衍射的强度分布 现以平面透射光栅的衍射为例，讨论光栅的 衍射问题。 实验装置如图 519所示，光源 S 置于透镜 L1的前焦点上，用来产生平行光束，光束经过透射光栅MN后会聚于 L2透镜的后焦面上。 在透镜 L2 我们发现在观察屏的衍射花样中出现了一系列光强极大值。 它们很亮、很窄，而且彼此相隔很远。 两极大值之间有一系列极小值和次极大值。 次极大值光强很弱，和极小值差别不甚明显，使得两极大值之间好似一片黑暗。 若 S是线光源且 我们 也可用氦氖激光器直接照射光栅，在远处的墙上观察光栅的衍射花样。 设光栅上透光部分的宽度为 b，不透光部分的宽度为 a，则定义光栅常数d=a+b，光栅总缝数为 N。 衍射角为θ的诸光线到达 Pθ点之光强，是由每缝内和各缝间的衍射光线叠加之结果。 由单缝衍射的讨论可知，每缝内衍射光线在 Pθ点的振幅为 aθ=a0sinα /α，现在的问题是求得以等幅 aθ的 N 个缝在 Pθ处的相干叠加。 因为两相邻缝之光程差Δ L=dsinθ，位相差为   2 L，因此容易做出矢量合成图，如图 520 做线段 039。 NaOBN  ,则 NOB39。 之长度就是θ =0时 P0 点的振幅。 因为θ =0 时每缝在 P0 点的振幅为 a0，且各缝位相相同，矢量相加变成各振幅矢量的首尾鱼贯相接，总振幅等于 N倍的分振幅。 做折线 ,B, N2,1 BBO 使 0132211 , aBBBBBBOB Nn  ，且使相邻两折线夹角为  sin2 d ，则该折线的始端与终端连线之长度即为 Pθ点的振幅 Aθ。 从图 520(b)   nn CBBCBBO C B 1211 , NOCBN  2sin2sin2sin22sin2NaOBNOCOBaOCNn 令  sin2 d ，则有   s i ns i ns i ns i ns i n 0 NaNaA  2220 )s ins in()s in(   NaI  (528) . 式中 sinα /α称为单缝衍射因子， sinNβ /sin 1. 当β =177。 jπ时，多缝干涉因子 sinNβ /sinβ =N，光强取得主极大值。 即当  jd  sin  jd sin j=0,1,2,… (529) 由 (529)式可知，光强主极大的位置与缝数 N 无关。 光栅实验显示当光栅的sinNβ／ simβ =N 时 (528)式变为 2220 )sin( NaI   缝数为 N 的光栅其衍射光强主极大处的振幅是单缝衍射在该方向振幅的 N倍，光强为 N 当 j=0 时，θ =0，是中央主极 大的位置。 因为这也是单缝衍射的中央主极大值的位置，因此θ =0 是中央主极大值的充分必要条件。 但其它主极大值不一定存在。 若某一级多缝干涉主极大值恰好与单缝衍射极小值重合，则该主极大不存 2. 由单缝衍射因子，当α =177。 kπ时， sinα /α =0，即由  kb sin k=1,2,3,„ (530) 由多缝干涉因子，当β≠177。 jπ而 Nβ为π的整数倍时， sinNβ /sinβ =0，则极小值的位置在    Nmj 即    Nmjd sin (531) 其中 j=0， 1， 2，„ m=1,2,„， N1 这时相邻两个极小值之间的位相差，即从第一极小值到第 N1个极小值之位相差 由式 (531)可看出，相邻两主极大值之间有 N1 个极小值，有 N2 个次极大值。 但次极大值的强度甚小，除理论研究外，无实际意义。 现在 N=5， d=3b 为例 ，作平面光栅衍射花样的光强分布曲线。 首先平面光栅上任何一条缝单独作用时，在屏幕上得到如图 521(a)所示的单缝衍射因子的曲线，当多缝相互作用 (干涉 )时，即得到多缝干涉因子的曲线，如图 521(b)所示。 由于 d=3b，使得两条曲线的横坐标具有确定的对应关系。 另外要注意，所有单缝衍射图样相互重叠。 这两条曲线相合成，就得到光强分布曲线 (c) 3. 光强主极大值的宽度。