第七章∶空间解析几何向量代数

第七章∶空间解析几何向量代数内容摘要：

都在点 ),( yx 具有对 x 及对 y 的偏导数，函数),( vufz 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )],(),([ yxyxfz  的两个偏导数存在，且有 ,xv vzxu uzxz    复合函数的中间变量 既有一元函数，又有多元的情形。 定理 3 如果函数 ),( yxu  在点 ),( yx 具有对 x 及对 y 的偏导数 , )(yv  在点 y 可导， ),( vufz 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )](),([ yyxfz  的两个偏导数存在 ,且有 ,xu uzxz   ,vdyzdvyu uzyz   例 1 设 yxvxyuvez u  ,s in ,求 yx zz, . 例 4 设 tveutuvz t c o s,s in  ,求全导数 dtdz . 全微分形式的不变性 如果函数 ),(),(),( vufzyxvvyxuu  分别有连续的偏导数，则复合函数)],(),([ yxvyxufz  的全微分为 dyyzdxxzdz  而 xvvzxuuzxz  , yvvzyuuzyz  隐函数的求导公式 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数 F(x,y)在点 P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0 ，则方程 F(x,y) = 0在点 (x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y = f(x)，它满足条件 y0 = f(x0)，并有。 上面公式就是隐函数的求导公式。 隐函数存在定理 2 设函数 F(x,y,z)在点 P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且 F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0 ，则方程 F(x,y,z) = 0在点 (x0,y0,z0)的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 z = f(x,y)，它满足条件 z0 = f(x0,y0)，并有。 例 1 04222  zzyx 求22xz 三、 方程组的情形 隐函数存在定理 3 设 ),( vuyxF , ),( vuyxG 在点 ),( 0000 vuyxP 的某一邻域内具有对各个变量的连续的偏导数，又 0),( 0000 vuyxF ， 0),( 0000 vuyxG 且偏导数所组成的函数的行列式 vGuG vFuFvuGFJ  ),( ),( 在点 ),( 0000 vuyxP 不等于零则有。 例 2 1,0  xvyuyvxu 求 xu ,yv 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线 Г 的参数方称为 x=φ(t) ， y=ψ(t) ， z=ω(t) ， 这里假定上式的三个函数都可导。 在曲线 Г 上取对应于 t=t0的一点 M（ x0， y0， z0）。 曲线在点 M处的切线方程  )()( 0 00 00 0 tzztyytxx   切线的方向向量称为曲线的切向量。 向量 T={φ39。 （ t0）， ψ39。 （ t0）， ω39。 （ t0） } 就是曲线 Г 在点 M处的一个 切向量。 通过点而与切线垂直的平面称为曲线 Г 在点 M处的法平面，它是通过点 M（ x0， y0， z0）而以 T为法向量的平面 法平面的方程 φ39。 （ t0）（ xx0） +ψ39。 （ t0）（ yy0） +ω39。 （ t0）（ zz0） = 0。 例 求曲线 32 , tztytx  在点 )1,1,1( 处的切线方程和法平面方程。 二、 曲面的切平面与法线 设曲面 Σ 由方程 F（ x,y,z） = 0给出， M（ x0， y0， z0）是曲面 Σ 上的一点，并设函数 F（ x,y,z）的偏导数在该点连续且不同时为零。 则根据解析几何，可得曲面上通过点 M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。 这个平面称为曲面 Σ 在 点 M的切平面。 这切平面的方程是 Fx（ x0， y0， z0）（ xx0） +Fy（ x0， y0， z0）（ yy0） +Fz（ x0， y0， z0）（ zz0） = 0 通过点 M（ x0， y0， z0）而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。 法线方程是 x=3 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。 向量 n = {Fx（ x0， y0， z0）， Fy（ x0， y0， z0）， Fz（ x0， y0， z0） } 就是曲面 Σ 在点 M处的一个法向量。 例 1 求球面 14222  zyx 在点 )3,2,1(0P 处的切平面方程与法线方程。 方向导数与梯度 一、 方向导数 定理 如果函数 ),( yxf 在点 ),( 00 yxP 可微分，那么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且有  c os),(c os),( 0000).( 00 yxfyxflf yxyx  二、 梯度 jyxfiyxfyxg r a d f yx ),(),(),( 000000   c os),(c os),( 0000).( 00 yxfyxflf yxyx  = eyxgradf ),( 00 多元函数极值的求法 一、 多 元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数 ),( yxfz 的定义域为 ),(, 00 yxPD O 为 D 的内点，若存在 0p 的某个邻域DPU )( 0 ,使得对于该邻域内异于 0P 的任何点 ),( yx ,都有 ),(),( 00 yxfyxf  则称函数 ),( yxf 在点 ),( 00 yx 有极大值 ),( 0 oyxf ,点 ),( oo yx 称为函数 ),( yxf 的极大值点。 极大值、极小值统称为极值。 使函数取得极值的点称为极值点。 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。 定理 1（必要条件） 设函数 z = f(x,y)在点 (x0,y0)具有偏导数，且在点 (x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： fx(x0,y0) = 0， fy(x0,y0) = 0。 定理 2（充分条件） 设函数 z = f(x,y)在点 (x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 fx(x0,y0) = 0， fy(x0,y0) = 0，令 f。