第7讲群的同态与群的同构

第7讲群的同态与群的同构内容摘要：

那么  ，A 也一定是群 . 【 证明 】 :对  ，A 而言 , “ ”满足封闭性是显而易见的 ,而由于  ,A 中的 “ ” 满足集合律 .利用第一章  也满足结合律 .下面须证  ，A 有单位元和 aAa , 有逆元 . i  ,A 是群 ,设 e 是单位元并设   ee  ,须证 e 是  ，A 的单元 .事 实 上 , ,Aa  是 满射 Aa ， 使  aa  , 那么        aaaeaeae    ,同理 aeaae  , 由 a 的任意性  e是单位元 . ii ,Aa  为满射 ,则 Aa 使  aa  ， 而  ,A 是群 ,故 a 有逆元 1a ,设   11  aa ，须证 1a 是 a 的逆元。 事实上 ,         ,111 eeaaaaaa     同理 11 ,   aeaa 是的逆元 ,即 1a = 1a . 由上可知 ,  ，A 是个群 . 例 3: 设  cbaA , 且 “ ” 为代数运算 , 而运算表为  a b c a a b c b b c a c c a b *问题 *: ,A 可否成群 ? 通过运算表也许能解决单位元和逆元问题 ,但 ,A 的结合律的检验 ,是相当费事的 ,怎么办 ? *处理方案 *:另取一个群 整数加群  ,Z 作映射 : ,: AZ 其中   ,ax  当  30x ，   ,bx  当 31x   ,cx  当  32x 易知 ,  是满射 ,但  能否保运算呢 ?下面利用  ,Z 是交换的特点 ,分六个情形来检验 :  如果  30x 且  30y   ,30 yx            yxyxyxaaayx    ,  如果  30x 且 31y   ,31 yx            yxyxyxbabyx    ,  如果  30x 且  32y   ,32 yx            yxyxyxcacyx    ,  如果 31x 且 31y   ,32 yx            yxyxyxbbcyx    ,  如果 31x 且  32y   ,30 yx            yxyxyxcbayx    ,  如果  32x 且  32y   ,31 yx            yxyxyxccbyx    , 由上逐一验证知 ,  能保运算 ,  是同态满射 ,由定理 1  。