第30－34课时160参数取值问题的题型与方法

第30－34课时160参数取值问题的题型与方法内容摘要：

的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。 2．代数法：若题目的条件 和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。 求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数的值域法、函数的单调性法。 例 10． 已知椭圆 C:x y2 22 8  和点 P（ 4， 1），过 P 作直线交椭圆于 A、 B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使 APPB AB ，求动点 Q的轨迹所在曲线的方程及点 Q 的横坐标的取值范围 . 分析 ：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。 其实，应该想到轨迹问题可以通过参数 法求解 . 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的 . 由于点 ),( yxQ 的变化是由直线 AB的变化引起的，自然可选择直线 AB的斜率 k 作为参数，如何将 yx, 与 k 联系起来。 一方面利用点 Q在直线 AB上；另一方面就是运用题目条件：APPB AB 来转化 .由 A、 B、 P、 Q 四点共线 ，不难得到 )(8 2)(4BABABA xx xxxxx   ，要建立 x 与 k 的关系，只需将直线 AB的方程代入椭圆 C的方程，利用韦达定理即可 . 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数 . 4 o x y QBAQPBAP  )(8 2)(4 BA BABA xx xxxxx   第 30－ 34 课时 ： 参数取值问题的题型与方法 140 在得到  kfx 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 yx, 的 方程（不含 k），则可由 1)4(  xky 解得 41xyk ，直接代入  kfx 即可得到轨迹方程。 从而简化消去参的过程。 解 ：设   ),(),(, 2211 yxQyxByxA ， ，则由QBAQPBAP 可得：xx xxx x  2 12 144， 解之得：)(8 2)(4 21 2121 xx xxxxx   （ 1） 设直线 AB 的方程为： 1)4(  xky ，代入椭圆 C 的方程，消去 y 得出关于 x 的一元二次方程：   08)41(2)41(412 222  kxkkxk （ 2） ∴ .12 8)41(2,12 )14(42221221kkxxkkkxx 代入（ 1），化简得： .234  kkx (3) 与 1)4(  xky 联立，消去 k 得：   .0)4(42  xyx 在（ 2）中，由 0246464 2  kk ，解得 4 1024 102  k ，结合（ 3）可求得 .9 102169 10216  x 故知点 Q的轨迹方程为： 042  yx （ 9 102169 10216  x ） . 说明： 由方程组实施消元 ， 产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到 . 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参 .，而“ 引参、用参、消参”三 步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道 . 例 11． 已知 [0, ) ，试讨论  的值变化时，方程 22si n c os 1xy表示的曲线的形状。 解 ：（ 1）当 0 时，方程化为 1y ，它表示两条与 x 轴平行的直线； 第 30－ 34 课时 ： 参数取值问题的题型与方法 141 （ 2）当2时，方程化为 1x ，它表示两条与 y 轴平行的直线； （ 3）当4时，方程化为 221xy，它表示一个单位圆； （ 4）当 04时，方程化为 22111sin cosxy，因为 11 0sin cos，所以 它表示一个焦点在 x 轴上那个的椭圆； （ 5）当42时，方程化为 22111sin cosxy，因为 110 sin cos，所以 它表示一个焦点在 y 轴上那个的椭圆； （ 6）当 2  时，方程化为 22 111sin cosxy ，因为 110 , 0s in c o s  ，所以 它表示一个焦点在 x 轴上那个的双曲线。 （Ⅱ） 、求参数的取值范围在解析几何中的应用 例 12． 一农民有田 2 亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为 400公斤，若种花生，则每亩产量为 100 公斤，但水稻成本较高，每亩每期 240 元，而花生只要 80 元，且花生每公斤可卖 5 元，稻米每公斤只卖 3元，现在他只能凑足 400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利 润。 分析 ：最优种植安排问题就是要求当非负变量 x、 y 满足条件 2xy和40080240  yx 时，总利润 P 达到最大，是线性规划问题。 解 ：设水稻种 x亩，花生种 y 亩，则有题意得： 2yx 0,0  yx 即 2yx 0,0  yx 40080240  yx 53 yx 此不等式组的解为四边形区域（包括边界），这些解通常就叫做本问题的可行解，并称这个区域为问题的可行解区域。 而利润 P＝（ 3 400－ 200） x＋（ 5 100－ 80） y＝ 960x+420y 为二元函数，通常就叫做本问题的目标函数。 故所求问题变为：要在此可行解区域内，找出（ x， y）点，使目标函数 P＝ 960x+420y 的值为最大，这类点就叫做本问题的最佳解。 如何找出这类点呢。 观察目标函数 P，我们知道： （ 1） 当 P 等于任意 常数 m 时， m＝ 960x+420y 都是－ 48/21 的直线； （ 2） 若直线 l： m＝ 960x+420y 与可行解区域相交，则对应于此直线的任一可行解，目标函数 P 的值皆为 m； （ 3） 当直线 l： m＝ 960x+420y 即 y＝－ 48/21x＋ m/400 过可行解区域，且纵截距最大时，m 有最大值，即目标函数 P 有最大值。 第 30－ 34 课时 ： 参数取值问题的题型与方法 142 由图可知，当直线 l过 B 点时，纵截距最大。 解方程组 235xyxy  得交点 B（ ,） 所以当 x＝ ， y＝ 时， Pmax＝ 960 ＋ 420 ＝ 1650（元） 即水稻种 亩，花生种 亩时所得的利润最大。 说明 ：很多数学应用题都与二元一次不等式组有关，而不等式组的解答往往很多， 在各种解答中，是否有一组为符合实际情况的最佳解答呢。 求此类问题的解答为数学的一个重要分支 —— 线性规划。 线性规划是最优化模型中的一个重要内容，它具有适应性强，应用面广，计算技术比较简便的特点，它是现代管理科学的重要基础和手段之一。 利用线性规划解决应用问题的方法可按下列步骤进行： （ 1） 根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形，即可行解区域； （ 2） 设所求的目标函数 f（ x， y）为 m 值； （ 3）将各顶点坐标代入目标函数，即可得 m 的最大值或最小值，或求直线 f（ x， y）＝ m 在 y 轴上截距的最大值（最小值）从而得 m 的最大值（最小值）。 例 13．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若 A 厂每小时可完成 1 辆甲型车和 2 辆乙型车； B 厂每小时可完成 3 辆甲型车和 1 辆乙型车。 今欲制。