第21讲多项式环

第21讲多项式环内容摘要：

Raa ,0,0, , 显然     ,0,0,0,0, Rba         .,0,0,0,0,0,0, Rbaba      ,0,0,0,0, ba  ,0,0,ab R R 是 P 的一个子环 . 现令  : ,RR 其中     Raaa  　,0,0, 可知 ,  是一个环同构 ,即 0RR 显然 .    RRP  ????图 由“ 挖补 定理”知，我们可得到一 个 新的环 0R ，其中 0RR且 PR0 ， 0R 中的 单位元就是 R 中单位元 R1 . (3) 须证 0R 含有 R 上的未定元 令  .,0,0,1,0 x .因为 0RRPxRx  又注意到 ,     0,0,1,0,0,0 个kkx (证略 ) 下面证明 : x 就是 R 的未定元 . 令 0, 2210  nn xaxaxaa   Rai „„ (*) 在环同构中之下 : PR 0  ,0,0,00 aa   ,0,0,11 aa    ,0,0,nn aa   ,0,0,00  由 (*)         ,0,0,0,0,0,0,0,0, 10  nn xaxaa 利用 P 中元素乘法的 x 定义和的特点上式变为 :     ,0,0,0, 210 aaa  0210  naaaa   x是的 R 上的未定义 练习题 : 设 R 为整环 ,而 F 是 R 的子环 ,如果  ,R 都是 F 上的代数元 ,那么 R 本就是一个域 . 证明 : (只需证 R 中每个元都可逆即可 )  R ,由题设知 , 是 F 上的代数元 ,即存在不全为零的 Faaaa n , 210 使 02210  nnaaaa   并可保证 00a 即零次项 0 . (这是因为 :由于 naaa , 10  不全为零 ,设 ia 是从左数第一个不 为零的元    .01111   nniiinniiii aaaaaa   但  不是零因子 i 不是零因子    01 innii aaa   零次项 0 所以上述假设是合理的 )  0a 可逆 于是      1210 nnaaaa  011 a   121  nnaaa。