第12讲子群的陪集

第12讲子群的陪集内容摘要：

1 ,于是 Hbhba  即 Hba . 由上述 (ⅰ )(ⅱ )和 (ⅲ )知 (1)成立 . 明示 4. 利用定理 1 和明示 3 可知下列命题必是等价的： HH b aHH a bHbHaHabHba   11 HbaHab   11 明示 5. 利用定理 1 知 , 每个陪集中任一个元素都可以“担任”该陪集的代表元 ,进而知 ,每个陪集一般其表示形式是不唯一的 . 定理 2. 设 GH ,设 Gba , ,那么 (1) Haa . (2) 对于陪集 Ha 和 Hb 而言 ,只有二种关 系： HbHa 或 HbHa (3) HaGGa . 证明： (1) GH aeaHe  而 ., HaaHaeaa  即 (2) 如果 HbHa , ,HbHax  由定理 1 HbHxHxHa  , , HbHa . (3)  每个陪集 Ha 都是 G 的子集  这些陪集的并也是 G 的子集 , HaGGa .别外 , Gg 由 (1) Hgg . 但 Ha 是 G 的陪集 ,即 HaHgGa , HagGa .由 g 的任意性 HaGGa , 所以 HaGGa . 可以利用引例 2 对定理 2 作进一步的解释： 设 3SH ,其中    ,12,1H 用 3S 中全部 b 个元素做代表元 ,则变得 b 个陪集：       ,12,11 H       1,1212 H .       123,1313 H       .132,2323 H       ,13,1 2 31 2 3 H       .23,1 3 21 3 2 H 首先 ,从上全部陪集中看到：每个陪集的代表元都含在该陪集内 . 其次 ,上列中任二个陪集要么相等 ,要么不相交 . 最后 ,将上列不重复的全部陪集并起来后恰好等于 3S . 注意： HaGa似乎表明全部陪集的并，然而由集合论的知识知道，只需取那些不重复的陪集作并即可， 例如， 3S 中全部的右陪集共6 有个，然而不重复的只有 3 个， 故    2313 HHHS 。 三．群的陪集分解 由定理 1 知，“ Hab 1 ”的真正含义是“ a 与 b 同在一个陪集之中”，那么将“同在一个陪集”看作是群的一个关系，这个关系有何性质。 定理 3 设 GH ,在 G 中定义关系“～” ： , Gba  a ～ b Hab  1 那么“～”必是个等价关系。 证明： (1) Ga . Heaa 1 a～ a (2)若 a ～ b Hab  1 ,由明示 4 ,1 Hba   b ～ a . (3) 若 a ～ b 且 a ～ c ,则有 Hab 1 且 Hbc 1 .     HacbcabGH   111, 即 a ～ c . 由 (1),(2),(3)知关系“～”是中的一个等价关系 . 由第一章16。