第11讲子群

第11讲子群内容摘要：

GH  　　)( . 由定理 1 中（ 2） Hb  1 ，再由（ 1）知 .1 Hab  )( （往证（ 1）和（ 2）成立） Hx . 由条件知 Hxx 1 ，即 Hl ，那么 HblbHba   11, ，并且Hbaab   11 )( ，所以（ 1）和（ 2）都成立，由定理 1 GH。 有限子群 的判定定理： 设 GH ，且 ||H ，那么 HbaGH  , 有 ab . 证明： 必要性：显然。 充分性：（ 1）条件表明 H 满足封闭 . （ 2） G 中满足结合律 H 也满足结合律 . （ 3）因为 G 中满足消去律 H 中也满足消去律 . 由（ 1） 、（ 2）和（ 3） GH （注 H 是有限集） . 思考题 1：  每个群都有二个不同的平凡子群吗。  G 的二个子群 1H 和 2H 有可能会 21 HH  吗。 为了加深印象，可从集合的角度对上述定 理进行论述： 设 BA, 是群 G 的两个非空子群，那么定义： },|{ BbAaabAB  }|{ 11 AaaA   显然 AB 和 1A 都是 G 的非空子集，至此，可以重新定义子群： 结论 1：设 GH ，那么 HHHGH  且 HH 1 结论 2：设 GH ，那么 HHHGH  1 对于上述结论的证明是显而易见的。 注意 ：结论 1 正是判定定理 1 的另一种表述； 结论 2 是判定定理 2 另一种表述。 思考题 2： 一个群 G 能表成它的两个真子空间的并集吗。 答：不能。 如果 GHGH  21 , ，且 21 HHG 。 那么必有 21 HH  且 12 HH 。 故第 4 页 共 6 页 存在， 11 Hh 且 21 Hh ， 22 Hh 且 12 Hh ， 而 21 HHG  是群 Ghh  21 ，即121 Hhh  或 221 Hhh  ， 但 若 121112121 )( HhhhhHhh  矛 盾。 同 理 ， 若212211221 )( HhhhhHhh  ，矛盾。 这表明 21 HHG  是不可能的。 思考题 3： 一个群能否表成它的三、四个真子群的并集。 例 2 设 )}23)(14(),24)(13(),34)(12。