清华大学讲义数值方法：第七章-函数逼近

清华大学讲义数值方法：第七章-函数逼近内容摘要：

) ( ) 0 , 0 , 1 , , .nbj j ka jx a x f x x d x k n      于是有 0 ( , ) ( , ) , 0 , 1 , , .nk j j kj a f k n    () 其中 ( , ) ( ) ( ) ( )bk j k ja x x x d x      ， ( , ) ( ) ( ) ( )bkkaf x f x x d x   。 （ ）是关于 01, , , na a a 的线性方程组，称为法方程。 由于 01, , , n   在 2[ , ]L ab 上线性无关，所以（ ）的 系数矩阵非奇异，于是（ ）有唯一解 * , 0 ,1, , .kka a k n 令 **0( ) ( )njjjs x a x () 下面将证明 *s 满足（ ），即对任意 s 有 * 22f s f s   （ ） 因为 * , 0,1, ,ja j n 为（ ）的解，所以有 *0( , ) 0nj j kj af 。 0,1, ,kn。 由 ()知，对任意 s 有 *( , ) 0s f s，从而也有 **( , ) 0f s s s  。 因此对任意 s 有 9 22 **2 2f s f s s s     22* * * *2 ( , )f s f s s s s s       22**f s s s    2* 2fs 这就证明了 ()，从而证明了 f 在  中最佳平方逼近的存在唯一性。 令 *( ) ( ) ( )x f x s x ，称2为最佳平方逼近的误差，容易得到 22 *0 ( , )nkkkf a f。 () 考虑特殊情况， [ , ] [ 0 , 1 ] , ( ) , 0 , 1 , , .kka b x x k n   权函数 1。 对于 2[0,1]fL 在  1, , , nspa n x x 中 最佳平方逼近多项式可以表示为 * * * *01() nnnp x a a x a x   。 相应于法方程（ ）中系数矩阵为 1111211 1 1( 0 , 1 ) ( )2 3 21 1 11 2 2 1n ijnHh nn n n     （ ） 其中 11ijh ij 。 矩阵（ ）称为 Hilbert 矩阵。 由于 Hilbert 矩阵是病态的，因此直接从法方程来求解 * , 0,1, ,ja j n 是相当困难的。 实用的方法是采用正交函数作  的基。 （ II）用正交函数作最佳平方逼近 设 2 [ , ],f L a b 01, , , n   是 2[ , ]L ab 中线性无关的函数。 利用 GramSchemidt 方法可以得到正交函数组  : 0,1, ,j jn  ，即 : 0,1, ,j jn  满足 10 220,( ) ( ) ( ),bija jijx x x dxij     令  01, , , nsp an    利用（ ）知， f 在  中的最佳平方逼近函数为 * 22( , ) , 0 , 1 , ,jjjfa j n。 由此得 * 20 2( , )( ) ( )n jnjjjfs x x  。 （ ） 11 167。 3 最小二乘法 由观察得 )(xf 的一组离散数据 ix 0x 1x 2x … mx )( ii xfy  0y 1y 2y … my 数据拟合的最小二乘法是：给定函数类 Ψ ，在 Ψ 上， 根据数据作出逼近曲线 )(* xS 使得    mi mi iiii yxSyxS0 0 22* ])([])([ ， s （ II）多项式拟合   nnxxxsp a n  ,1 2  定义 设 )(xf 在 m+1 个节点 mxxx , 10  上给定的离散函数， 最小二乘法为求 nn xP )(* 使    mj mj jnjjnnjnjj xPxfxpxPxfx0 0 22* )]()()[(m i n )]()()[(  其中 )(x 为 [a,b]上权函数，并假定 0)( x ， ],[ bax。 )(* xPn 称为 f 在 m+1 个节点上的最小二乘解。 nn xP )( nnn xaxaaxP  10)(    mj ni ijijjn xaxfxaaaF 0 0 210 ])()[(),(       mj mj ni ijijjni ijijj xaxfxxaxfx0 0 200 * ])()[(])()[(  ),(, m i n ),( 1010**1*0 nnnaaaFaaaaaaF 。