波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒罗新兵1乔治波利亚

波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒罗新兵1乔治波利亚内容摘要：

AABBV＝ ba1DABBV， 但1DABBV＝1B ABDV＝ 13 12 ａ 2ｈ＝ 16 a2ｈ， 故11DAABBV＝1DABBV＋11DAABV ＝ 16 a2ｈ＋ ba 16 a2ｈ＝ 16 (a2＋ａｂ )ｈ． 从而1 1 1 1ABCD ABCDV ＝11DAABBV＋11D BBCCV＋1 1 1 1D ABCDV ＝ 16 (a2＋ａｂ )ｈ＋ 16 (a2＋ａｂ )ｈ＋ 13 b2ｈ ＝ 13 （ a2＋ ab＋ b2） h． 你能不能把这一结果或方法用于其他问题 ?”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式 (方法是一样的 )．注意到 2＝Ｓ1， b2＝Ｓ2，ａｂ＝ 12SS ， 可一般化猜想棱台的体积公式为 Ｖ 台 ＝ 13 (Ｓ 1＋ 12SS ＋Ｓ 2)ｈ． ３ 波利亚的解题观 对于波利亚的怎样解题表及有关著作，人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识 (见参考文献 )，我们将其归结为 5 个要点． ３．１ 程序化的解题系统 怎样解题表，就 “怎样解题 ”、 “教师应教学生做些什么 ”等问题，把 “解题中典型有用的智力活动 ”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段 ——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统．既体现常识性，又体现由常识上升为理论 (普遍性 )的自觉努力． 这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序，其中 “实现计划 ”虽为主体工作，但较为容易完成，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置， “我们所需要的只是耐心 ”；其次，“弄清问题 ”是认识问题、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比， “回顾 ”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中 “拟定计划 ”是关键环节和核心内容． 拟定计划 ”的过程是在 “过去的经验和已有的知识 ”基础上，探索解题思路的发现过程，波利亚的 建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系 (模式识别等 )；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化问题．这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配． 于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体． ３．２ 启发式的过程分析 还在当学生的时候，波 利亚就有一个问题一再使他感到困惑： “是的，这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢 ?是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这样的事实 ?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢 ?”从解题论的观点看，这实际上是既提出了 “怎样解题 ”又提出了 “怎样学会解题 ”的问题，波利亚说，这 “终于导致他写出本书 ”(指《怎样解题》 )． 波利亚认为 “数学有两个侧面 ”， “用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．这两个侧面都像数学 本身一样古老．但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有 „照本宣科 ‟地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生，或教师自己，或公众． ”他以数十年的时间悉心研究数学启发法，其 “怎样解题 ”的基本思想就可以概括为 “知识＋启发法 ”． 在解题表中，波利亚给出了 “启发法小词典 ”，让读者通过阅读词典来开阔思路、指导实践，自己学会怎样解题． 这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识，波利亚认为，数学教育应 “教会年轻人去思考 ”，培养学生的 “独立性、能动性和创新精神 ”；他认为一个人在学校所受的教育应该受益 终生，他赞成，良好的教育应该 “系统地给学生自己发现事物的机会 ”， “应该帮助学生自己再发现所教的内容 ”， “学东西的最好途径是亲自去发现它 ”；他特别重视发展学生的数学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯，他反复指出，数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要 “发展学生本身的内蕴能力 ”．教师要 “教学生证明问题 ”，也要 “教他们猜想问题 ”．波利亚提出 “合情推理 ”的概念，号召： “让我们教猜想吧 !” 在解题表的展开中，波利亚则通过剖析典型 例题的思维过程来研究 “发现和发明的方法和规律 ”．波利亚不断地提问、不断地建议， “怎样才能想出这样的解答呢 ?”“我自己怎样才能想出或发现它们呢 ?”既驱使人们去分析解题过程，又要求人们去总结发现的规律．波利亚在《数学的发现》序言中提出： “领会方法的最佳时机，可能是读者解出一道题的时候，或是阅读它的解法的时候，也可能是阅读解法形成过程的时候 ”． 波利亚书中的例题，其实就是对典型例题进行解题过程的分析，就是暴露数学解题的思维过程，也就是教人 “怎样学会解题 ”．在例 1 中，数学操作与思维开展相结合的图解或阐释，使我 们既领会到了这样的意图，也见到了这样的行动． 波利亚对解题过程淋漓尽致的剖析，实质上已接触到心理层面，但没有用到多少教育学或思维学的相关名词，基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露，数学功底和过程体验发挥了重要作用．这正是数学家研究数学教育的优势，处处有数学的 “真刀真枪 ”，绝非“纸上谈兵 ”．波利亚说 “货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本 ”，在 “知识 ”与 “组织良好 ”之间，波利亚更强调后者，他说 “良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至。