x射线晶体学第3章

x射线晶体学第3章内容摘要：

nn  第一项， q= )1(21 n ，令 x=a178。 s nxxn sin)]1(21[2c os2  = ]s in)[c o s (2 xxnx   = xxnxxn x c o x  s i n]s i ns i n[ c o s2  = ]s i ns i ns i n[ c o s2 2 xnxxxn x c o x   = )2c o s1(s i n2s i nc o s xnxxnx   = xnxnxxnx  2c o ss i ns i n2s i nc o s  97 = nx s inn x )xs in ( 2  = nxn  s inx)2(s in  = nxn  s inx)2(s in  = xnn )2(sinxsin  第二项， q=2231)1(21 nn  xn  s in)223(2c os2  xnxxnxx  s i n]s i n3s i nc o s3[ c o s2  xxxxxnxxxxxnx  s i n)]s i n2c o sc o s2( s i ns i n)s i n2s i nc o s2( c o s[ c o s2 )s i n2s i n2s i nc o s2c o s2(c o s 2 xxxxxnx   )s i n2c o s2s i nc o s2s i n2(s i n 2 xxxxxnx   )]2c o s1(2s i n2s i n2[ c o sc o s xxxxnx   )]2c o s1(2c o s2s i n2[ s i ns i n xxxxnx   )2c o s4( c o ss i n)2s i n4( s i n xxnxxxnxc o x   xnxxnxxnxxnx 2c o ss i n4c o ss i n2s i ns i n4s i nc o s   xnxnxnxn )2(s i n)4(s i n)2(s i n)4(s i n   等式右端各项除首尾两项外，都消掉了，而首尾两项是相等的，于是我们有 sa sa sinsin nfA an …… （ ） 只要把原点选在对称中心，该等式对 n为偶数的也成立，而且， ()式一定会给出散射振幅的数值，并和原点的选择无关。 散射强度为 222222 )(s i ns i n)( KnfnfA aan  sa sa ……… () 98 对各种 n值， (Kn)2看作是 a178。 s的函数，我们来研究一下 (Kn)2的性质。 如果观察（ Kn），则看到当 a178。 s=h时（ h是整数） ,sinπ na178。 s 和 sinπ a178。 s都是 0，令 x=a178。 s，当 x→ 0时，有 22 2022 )(s ins in nxnxxnx x   ……………… () 图 n=5时，函数 sin2(π 5a178。 s)和 sin2(π a178。 s)的曲线。 很明显，这两个函数的比是周期性的，而且具有统一的重复距离。 因此，如果 a178。 s=0时， 22)( nKn  ,那么，当 a178。 s=h时（ h是任意一个正整数或负整数） 2)( nK 仍等于 2n。 在图 ， a178。 s 的范围是从 0到 1，对 n= 5和 7画出 了函数 2)( nK 的曲线。 由图可见， 2)( nK 随 a178。 s的改变而发生相对的变化。 函数 2)( nK 有这样一些特性： （ 1） 2)( nK 的主极大总是出现在 a178。 s为整数的时候。 （ 2）在两个主极大之间有 n1个极小，相应于 2)( nK =0 处；有 n2个次极大。 （ 3）主极大的宽度是 2/n，因此，主极大会随 n值增加而变窄。 （ 4）主极大的宽度是次 极大宽度的两倍。 （ 5）主极大与次极大高度的比例随 n的增加而增加。 对于 n=4的情况，按照位相矢量图的顺序，已画在图。 当 a178。 s 从 0变到 1时，能看到产生三个极小和两个次极大，图中的次极大只是接近而不是真正位于极大处。 n=4 的位相矢量图，取 A为原点， a178。 s=0 时，位相相同，互相叠加，成主极大； a178。 s=1/4 时， 02,0  aa xx  ； 2/2,   bb xx sa ；   cc xx 2,2 sa ；2/32,3   dd xx sa ；  22,4  ee xx sa a178。 s=3/8 时， 02,0  aa xx  ； 4/32,   bb xx sa ； 2/32,2   cc xx sa ；4/2,3   dd xx sa ；  32,4  ee xx sa a178。 s=1/2 时， 02,0  aa xx  ；   bb xx 2,sa ；  22,2  cc xx sa ；  dd xx 2,3 sa ；  42,4  ee xx sa a178。 s=5/8 时， 02,0  aa xx  ； 4/52,   bb xx sa ； 2/2,2   cc xx sa ；4/72,3   dd xx sa ；   52,4 ee xx sa a178。 s=3/4 时， 02,0  aa xx  ； 2/32,   bb xx sa ；   cc xx 2,sa ；2/2,3   dd xx sa ；  62,4  ee xx sa a178。 s=1 时，位相叠加，得主极大 三个极小位于 a178。 s=1/ 1/ 3/4 n1=3 两个次极大位于 a178。 s=3/ 5/8 n2=2 从 2)(nK 看， a178。 s=1/4， 0s in414s in 22   ∴ 2)(nK =0 99 a178。 s=3/8, 1)1(23s i n834s i n 222   , 85 2  ∴ 2)(nK = a178。 s=1/2, 02s in214s in 22   ∴ 2)(nK =0 a178。 s=5/8, 12s in854s in 22   , 85 2  ∴ 2)(nK = a178。 s=3/4, 03s in434s in 22   ∴ 2)(nK =0 a178。 s=0, ∴ 2)(nK =n2=16 a178。 s=1, ∴ 2)(nK =n2=16 2)( nK 的极大值位置接近 sin2π na178。 s的极大值位置，写作 a178。 s= nm2 12  ， m=1 到 n2 这样，第一个次极大（即 m=1）的峰高就能给出为 222222/3 94)2/3(s i n )]2/3([s i n)(  nnnnK nn 第一个 次极大峰的高度与主峰的比是 4)( )( 2202 2/3 n nnKK …………………………（ ） 同理，对第 m个峰，只要 mn，我们就能求出： 100 04 )12( 4)( )( 22202 2/)12(  mKK n nmn …………………………（ ） 可以指出，这个比例随 m的增加而衰减得很快，而且对于大的 n值，所有可以观察到的次极大峰都很靠近主极大。 对于很大的 n值（理论上 n=∞）能推论出，除了 a178。 s=h (h为整数 ) …………………………（ ） 条件外，不会产生有意义的衍射强度。 而这一条件正好是在晶体 X射线衍射中所找出的条件。 在那里，沿着任一方向堆积晶胞， n很难小于几百。 若晶体很小， (例如，片状晶体，厚度,该方向晶胞大小 20197。 ，则 n=179。 107/20=5000)在它的衍射花样之外就能出现某些扩展，这个效应在后面的章节中还会进一步讨论。 从比较直接的物理观点，可以找出一维原子排列的衍射条件。 图 一列原子上，入射线与该原子列成ψ a,0，我们考虑与该原子列成ψ a角方向上的合 成辐射。 考虑到相邻两原子散射辐射的加强条件，必有： CBAD= hλ 其中 h是整数，或者写成 a(cosψ acosψ a,0)= hλ …… （ ） 特别应当指出的是：入射线、原子列和衍射线不必共面，对指定的ψ a,0角和整数 h，可容许的ψ a角确定出一个半角为ψ a的圆锥，以原子列为锥轴，那么， 圆锥面 就表示衍射强度非零的方向。 对于不同的 h值，可以有一系列的同轴圆锥，组成了一个圆锥族。 应当指出，衍射出现的两个条件（ ） 和 ()是等价的。 因为 s= 0SS ,所以 a178。 s=a178。 0SS = )(10SaSa  ………………………… () 因为 S， S0是衍射方向和入射方向的单位矢量，它们和原子列的夹角为ψ a、ψ a,0， a178。 S=acosψ a a178。 S0=acosψ a,0 所以容易看出，（ ） 是从 ()演变来的。 101 第三章 2 167。 二维原子列的衍射 两维原子列用两个矢量 a、 b来定义，显然，在 a、 b 两个方向上都应满足衍射条件： a178。 s =h b178。 s =k …………………………………… （ ） h和 k是两个整数。 如果入射线和衍射线与 a、 b 构成的的角为 ψ a、 ψ a， 0、 ψ b、 ψ b,0,则这两个条件又能写成 a(cosψ acosψ a,0)= hλ b(cosψ bcosψ b,0)= kλ ……………… （ ） 这两个方程定义了两族圆锥面，其锥轴分别沿着 a 和 b的方向，两个圆锥面的交线才是可能的衍射方向。 167。 三维原子列的衍射 三维原子列，构成了空间点阵，用 a,b,c三矢量表示，三维的衍射条件是： lkhscsbsa …………………………………………… （ ） 或 lckbhaccbbaa)c o s( c o s)c o s( c o s)c o s( c o s0,0,0, ………………………… （ ） 这些方程就是著名的 Laue方程。 方程组定义了三族圆锥，只有三族圆锥共交一线，才能出现衍射。 167。 倒易点阵 现在我们来研究 a178。 s=h方程中的矢量 s的问题。 一个晶胞，由 a、 b、 c定义，我们定义一个新的矢量 a*： a*178。 a=1。 a*178。 b=a*178。 c=0 …………………………() 因为 a*与 b 和 c的标积为零，表示 a*垂 直 b 和 c，这就确定了 a*的方向及其与 a 的角度关系，而 a*178。 a=1则确定了 a*的模。 这就是说， a*是完全确定的。 同样可以定义 b*和 c*。 这样，我们就有一套完整的关系式： a178。 a*=1 b178。 a* =0 c178。 a*=0 a。