极限求解的若干方法-应用数学毕业论文(编辑修改稿)

极限求解的若干方法-应用数学毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

m)()(39。 39。 xexBxx xAx   在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。 例 5：求下列函数的极限 (1) 23lim lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nnn x x x x    (2) 22lim(1 )mm nm  解 ： (1) 23c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nx x x x 231 c os c os c os c os si n2 2 2 2 2si n 2 nnnx x x x xx 1 sin2 sin 2n n xx 23lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nn x x x x 1 si n si nl im si n2 si n l im 2 si n22n nnnnnxxxxx x   230lim lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nxn x x x x  0 sinlim 1x xx （ 2） 2 2 2 22 2 22 2 2( ) ( ) 02 2 2l im ( 1 ) l im ( 1 ) l im ( 1 ) 1m n m nmm mn m nm m mn n n em m m                  例 6：xxx   sinlim 解：令 t= x .则 sinx=sin(  t)=sint, 且当 x 时 0t 故 1sinsin limlim0   ttxxtx  例 7：求  1 1sin 21lim   xxx 解：原式 =            21 1s i n111 1s i n1 22121 l i ml i m   xxxxx xxxx 例 8: 求 xx x10 )21(lim 的极限 解：原式 = 221210 )21()21(lim exxxxx   利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。 一般常用的方法是换元法和配指数法。 利用级数收敛的必要条件求极限 利用级数收敛 的必要条件：若级数1 nn 收敛，则 0( )n n   运用这个方法首先判定级数1 nn 收敛，然后求出它的通项的极限。 例 9： 求 2lim( !)nnnn 解 ：设2( !)nn na n 则  112( 1 ) ( !)lim lim ( 1 ) !nnnnnna nnann     11lim (1 )1 nn nn   01 由比值判别法知1 nn a收敛 由必要条件知2lim 0( !)nnnn  利用单侧极限求极限 形如： (1) 求含 xa 的函数 x 趋向无穷的极限，或求含 1xa 的函数 x 趋 向 于 0 的极限。 (2) 求含取整函数的函数极限 (3) 分段函数在分段点处的极限 (4) 含偶次方根或的函数以及 arctanx arc tancx的函数， x 趋向无穷的极限 . 这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。 例 10： 21si n , 0()1 , 0xxfx xxx   求 ()fx在 0x 的左右极限 解 ：01lim sin 1n x x  01lim sin 1n x x  00lim ( ) lim ( ) 1nnf x f x 0lim ( ) 1x fx  利用函数的连续性求极限 即：)()](l i m[))((l i m)()(l i m)]([)()()(l i m)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx处连续，则在且是复合函数，又若处连续，则在若 这种方法适用于求复合函数的极限。 如果 ()u gx 在点 0x 连续 00()gx  ,而()yf 在点 0x 连续，那么复合函数 ( ( ))y f g x 在点 0x 连续。 即000lim ( ( ) ) ( ( ) ( lim ( ) )x x x xf g x f g x f g x也就是说，极限号0limxx可以与符号 f互换顺序。 例 11： 求01limln(1 )xxx x  解 ：令 lnyu , 1(1 )xux 因为 lnu 在点0 1lim ln(1 ) xxuex   处连续 所以 1limln(1 )xx x  1ln[lim(1 ) ]xx x lne 1 利用无穷小量的性质求极限 无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。 如果0lim ( ) 0xxfx , ()gx 在某区间 0 0 0 0( , ), ( , )x x x x有界，那么0lim ( ) ( ) 0xx f x g x .这种方法可以处理一个函数不存在但有界和 另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例 12：求 sinlimxxx 解： 因为 sin 1x 1lim 0x x  所以 sinlim 0xxx  利用等价无穷小量代换求极限 定理 1 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0）。 定理 2 当 0x 时，下 列函数都是无穷小（即极限是 0），且相互等价，即有：。