数学与应用数学毕业论文群同态与逆同态的几点探究(编辑修改稿)

数学与应用数学毕业论文群同态与逆同态的几点探究(编辑修改稿)内容摘要：

pimorphism).若 f 是一一映射（即双射），则 f 是群的同构映射，此时也称群 G 与群 G 同构，记做 GG . 群 G 到 G 的同态映射与同构映射，分别称为群 G 的自同态与自同构 . 定义 设 G 是一个群 ,N 是 G 的一 个子群，如果对于 ∀ a ∈ G ,aN Na ， 即 1aNa =N ,则称 N 是 G 的一个正规子群 （或不变子群） ,表示为 N a N ={an | n∈ N }称为由 a决定的 N 的左陪集。 N a={na | n∈ N }称为由 a决定的 N 的右陪集 .当 aN =N a时，简称为 N 的陪集 . 定义 群 G 的正规子群 N 的全体陪集对陪集的普通乘法做成一个群，称为 G 关于 N 的商群 ,记为 /GN. 定义 设 f 是群 G 到 G 的一个同态映射， G 的单位元在 f 之下的所有逆象做成的 集合，叫做 f 的核，记为 Kerf . 定义 设 G 是一个群， 设  是 G 到 G 的一个映射，若  满足下列两个条件： 1 ()ee  ,e 是 G 的单位元；即 e 在  下保持不 变 2 ( ) ( ) ( )xy y x   ,∀ ,xy ∈ G ； 则称  是群 G 上的逆同态映射 ,简称逆同态 . 若  是群 G 上的逆同态映射 ,且是双射 ,则称  是群 G 上的逆同构映射，简称逆同构 . 定理 设 f 是 G 到 G 的一个同态映射， e 与 e 分别是 G 与 G 的单位元， a ∈ G ,则 1 f 将 G 的单位元映到 G 的单位元，即  f e e ； 2      11f a f a   ； 3 设 n 为任一正整数，则 f  na =   nfa ； 数学与统计学院 20xx 届毕业论文 4 4 如果阶有限，则  fa ∣ a。 定理 设 G 的一个非空子集做成子群的充要条件是： 1 ) ,。 a b H ab H   12)。 a H a H   命题 如果 f : G → G 为群的满同态， Kerf =N ,则介于 N 与 G 之间的子群 H （即） 恰与 G 的子群 H 一 一 对应，即  fH=H ,H =  1fH。 而且 H 是 G 的正规子群当且仅当 H 是 G 的正规子群 . 命题 设 G 与 G 是群 ,f 是 G 到 G 的同态映射，则同态映射的核 Kerf 是 G 的正规子群 . 定理 （群同态基本定理）设 G 与 G 为群 ,f 是 G 到 G 的满同态，则， G /Kerf  G 2 主要结果 基于同态基本定理的证明思路，提供了证明两个商群同构的思路和方法：证明一个商群 G/ N 与另一个群 G 的同构，只需要构造群 G/ N到 G 的同态满射 f ,并证明 N = Ker f ，再利用同态基本定理即得 G/ N G . 下面应用这一思想方法证明群中相关结论 . 例 1 设 G ={(a,b) | a,b∈ R, a ≠ 0} 是对乘法 (a,b)(c, d) = (ac,ad + b) 构成的群， K = {(1,b) | b∈ R}，则 G / K R*. 证明： 对 ∀ a,b∈ G ,设   *:,f G Ra b a 显然 f 是满射； 对 ∀ (a,b),(c,d)∈ G, f ((ab)(cd)) = f (ac,ad + b) = ac = f (a,b)f (c,d)， 因此 f 是满同态，由同态基本定理知 G / ker f  R* ,又 数学与统计学院 20xx 届毕业论文 5 Ker f = {(a,b) | f (a,b) =1} = {(1,b) | b∈ R} = K, 故 G / K R*. 例 2 设圆群 (S ,*) ,其中  |iS e C R   ,*为数的乘法， 则 R / Z S . 证明：由于 (Z,+)是 (R,+)的正规子群 .（“ +”为数的普通加法） 设 :f R S 2ixxe 显然 f 是满射。 对 ∀ x, y∈ R, f (x + y) =  2 22i x y ix iye e e   = f (x) f ( y), 所以 f 是满同态。 当 xZ 时 2 c os 2 sin 2 1ixe x i x    故    11ke r 1f f e f Z  。 由群同态基本定理知 G/ ker f = G / Z S . 逆同态与群同态的相似性质 定理 设 G 是群 , 是 G 到 G 的逆同态 ,e 是 G 的单位元 , aG ,则有       111 aa   .      2 nnaa .    3 aa。