数学建模优秀论文嫦娥三号软着路轨道设计与控制策略(编辑修改稿)

数学建模优秀论文嫦娥三号软着路轨道设计与控制策略(编辑修改稿)内容摘要：

，然后返回 step2，直到 J̅= 0。 终端时刻的初始 值 估计， 由于软着陆时着陆器能量为零 ,可知推力作用主要是抵消能量，将该能量等效为动能 ,则 可推出 等效速度为 𝑣 = √𝑣02 +2𝑔𝑕 假设采用脉冲推力模式 ,将该速度抵消需要消耗的燃料量为 𝑚 = 𝑚0(1−exp (− 𝑣/𝐼𝑠𝑝𝑔)) 而 对于实际的有限推力模式，与 𝑚相对应的时间为 𝑡𝑓 = | | = 𝐹 𝑠 ⁄= 0[1。 𝑒𝑥𝑝 (。 √𝑣02:2𝑔𝑕/ 𝑠 )]𝐹 𝑠 ⁄ （ 10） 式 中 |m|为发动机燃料秒流量 最终得 计算结果为： 𝑡𝑓 = 因脉冲推力比有限推力消耗的燃料量少 ， 所以 使得该计算结果偏小。  目标函数的求解 第二阶段 垂直方向上的减速最大值为 v2 = 2(𝐹𝑡𝑕𝑟𝑢𝑠𝑡 −𝑚2𝑔)𝑚2(𝑕2 − 𝑕3) 由 文献可知 2 𝑚2 𝑚,为使卫星在第六阶段自由落体，则快速调整阶段的速度范围 为 ： v 假设主减速阶段卫星以一定角度 θ提供向上的推动力， 则等效速度为 v = 𝑡𝑓(𝑚𝑔− 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃)/𝑚 由于 𝜃值较小， 故 可以忽略不计。 此问题为 终端时间固定型无约束最优控制问题 ,本模型 将其转化为非线性规划问题 ,然后借助于拟牛顿法和四阶 Admas 预测 校正积分格式快速求解。 为保证优化精度 ,转化方法采用计算量稍大但精度较高的直接离散化方法。 直接离散化方法将整个最优控制过程分成若干个时间段 ,时间段之间的9 端点称为节点。 选择节点处的控制变量作为未知参数 ,通过插值得到整个最优控制过程的控制变量 积分状态方程。 根据这些控制变量积分状态方程形成目标函数 ,得到一个无约束数学规划问题。 具体如下 ： (1) 将整个飞行时间分为 N 个时间段 ,形成 N+ 1 个时间节点 𝑡𝑖 ( i = 0 ,1 , ⋯, N) ,取 𝑡𝑖时刻的控 制量 𝜑𝑖 为优化变量 ,共有 N + 1 个变量 ； (2) 整个飞行过程的控制量可以通过在各时间节点处线性插值得到 ； (3) 采用 拟牛顿法和四阶 Admas预测 校正积分 ， 得到 从 𝑡0到 𝑡𝑓 积分状态方程(6) 和 目标函 数 (9)。 图 11 偏角和垂直速度随时间变化的趋势 快速调整段制导律（重力转弯制导 [4]）  模型的分析 由于在最终着陆段中，嫦娥三号 的距月面距离只有 2 千米左右，远远小于月球的半径 1738 千米，因此在建模时可以忽略月球的曲率，将月面近似 看 为水平面；且考虑到在最终着 陆段中嫦娥三号的切向速度只有几十米每秒， 设切向速度给嫦娥三号 所带来的离心加速度为 ， 月球半径为𝑅。 因为 嫦娥三号 的切向速度为 𝑣𝑦，则计算切向速度给嫦娥三号所带来的离心加 速度公式为 ： = 𝑣𝑦2 𝑚= 5721738 𝑚/𝑠2 因此可以忽略嫦娥三号 的离心加速度，只考虑重力加速度。  模型的建立 假设嫦娥三号 的下降轨迹在一个平面内，设制动发动机的比冲为 𝐼𝑠𝑝，秒耗量为 Δm，嫦娥三号 的垂直高度为 𝑕34， 切向速度为 𝑣𝑦， 质量为 m3，制动发动机的推力方向与垂直方向夹角为 φ。 在以上假设条件下，我们对嫦娥三号进行受力分析，可以得到嫦娥三号 的动力学模型为： { 𝑕 = −𝑣𝑐𝑜𝑠(𝜓)𝑣 = −Δ 𝑠 3+𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜓)𝜓 = −𝑔𝑠𝑖𝑛(𝜓)𝑣𝑑 3𝑑𝑡 = −Δm （ 12） 10  模型的 最优解 为了使嫦娥三号 在最终着陆段中的燃料消耗达到最小，则 设嫦娥三号 软着陆 燃料消耗为 ： 𝐽 = ∫ 𝑚𝑑𝑡 = 𝑚𝑡𝑓𝑡0(𝑡0)− 𝑚(𝑡𝑓) （ 13） 对于重力转弯制导法下的软着陆模型，推力的燃耗最优控制是开关控制，而且开关次数最多不会超过 1 次。 要实现嫦娥三号的终端状态约束，嫦娥三号只能先进行自由落体，直到开关切换函数为 0 时 ， 制动发动机工作，嫦娥三号 进行制动减速，直至在到达月面时减速为 0,仿真图如下所示： 图 12 快速调整阶段运动状态 粗避障段制导律 （多项式制导 [5] ）  模型的分析 嫦娥三号软着陆粗避障阶段持续时间较短，所以需要设计有效的制导律使探测器能在有限的时间内跟踪上标称轨迹，外部环境的干扰是影响着陆精度的主要因素。 所以，本模型首先给出了多项式，然后通过初始状态和末端状态反解多项式系数进而求取标称轨迹， 然后 设计 终端滑模制导律跟踪标称轨迹。  模型的建立 多项式形式的标称轨迹规划一般假设系统状态变量为多项式，基于边界条件和着陆时间解相关系数。 对于嫦娥三号粗避障阶段，首先可以将着陆器的加速度表示为二次多项式的形式： 𝑟̈ = = 𝐶1 +𝐶2𝑡 +𝐶3𝑡2 (14) 其中 𝐶1， 𝐶2和 𝐶3分别为待定常数矢量。 对式（ 14）等式两边积分可以得到嫦娥三号的速度矢量和位置矢量的表达式为： 𝑟̇ = v = 𝐶1𝑡+ 𝐶2 𝑡22 +𝐶3 𝑡32 +𝑣0 (15) 𝑟 = 𝐶1 𝑡22 +𝐶2 𝑡36 +𝐶3 𝑡42 +𝑣0𝑡+ 𝑟0 (16) 给定着陆时间 𝑡𝑓和初末端状态的情况下，可以解出： C1= f − 6v0:vftf+12 rf。 r0tf2 𝐶2 = −6𝑎𝑓𝑡𝑓+ 63𝑣0:5𝑣𝑓𝑡𝑓2−48𝑟𝑓。 𝑟0𝑡𝑓3 (17) 11 𝐶3 = 6 𝑓𝑡𝑓−123𝑣0 +5𝑣𝑓𝑡𝑓2+36𝑟𝑓 −𝑟0𝑡𝑓3  模型的计算和分析 生成标称轨道的仿真参数为 着陆器在着陆点平移坐标下的初始位置矢量 𝑟0 = [ 20xx 600 −400 ]𝑇𝑚 , 初始速度矢量 𝑣0 =[−50 −20 10 ]𝑇 𝑚 𝑠⁄ ，着陆时间为 𝑡𝑓 = 80𝑠， 将参数代入到式（ 17）可得常矢量为： 𝐶1 = [ − ]𝑇 𝐶2 = [− − 0 ]𝑇 𝐶3 = [ ]𝑇 10。 5 基于光学图像的粗障碍检测就是利用月球岩石和坑的图像特征识别大障碍 , 确定安全区域。 根据岩石和坑的特征，本文选取 避障原则如下式： {𝑝𝑝2(𝑖,𝑗) ≥ 60𝑚 避开 陨石坑𝑝𝑝2(𝑖,𝑗) ≤ 90𝑚 避开 山坡 (18) 图 13 粗避障阶段的等高线 将此区域图片看做 2300 2300的矩阵，进一步分割为 23 23个 100 100的矩阵。 根据组成地面高度的矩阵， 利用 var函数求解 计算每一个矩阵的方差。 方差的大小代表地面的平坦程度。 图 14 粗避障阶段最优着陆点 图中白色区域为方差最小点 ，即为 不考虑避障阶段 速度增量 的值时， 需要搜寻的12 最优 着陆区域。 精避障阶段 精避障阶段，推力和姿态发动机的比冲较小且时间短，不将比冲燃料消耗计算在内。 为了 在整个降落区域的范围内搜索最优着陆点 ，将图片区域网格化处理为 1000 1000的矩阵， 选择 最优区域的准则为 总高度 𝑖𝑗和 总平坦度 𝑏𝑖𝑗值的大小。 𝑖𝑗 = 𝑚𝑖𝑛∑ ∑ 𝑝𝑝2(𝑖,𝑗)𝑗:𝑎𝑗。 𝑎𝑖:𝑎𝑖。 𝑎 𝑏𝑖𝑗 = 𝑚𝑖𝑛∑ ∑ (𝑝𝑝2(𝑥,𝑦) −|𝑝𝑝2̅̅̅̅̅|𝑗:𝑎𝑗。 𝑎𝑖:𝑎𝑖。 𝑎) 用 MinMax 标准化方法消除数量级的不同 𝑖𝑗 = 𝑖𝑗 − min( 𝑛)m x( 𝑛) −min( 𝑛) 𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 −min(𝑏 𝑛)m x(𝑏 𝑛) −min(𝑏 𝑛) 设置偏好系数 λ表示区域总高度对降落点得分的影响， 1− λ表示区域总平坦度对降落点得分的影响。 则降落地点总体得分 ζ = λ 𝑖𝑗 + (1 −λ)𝑏𝑖𝑗。