数学与应用数学毕业论文关于和与积相等的矩阵对(编辑修改稿)

数学与应用数学毕业论文关于和与积相等的矩阵对(编辑修改稿)内容摘要：

           也是上三角矩阵，定理 2 得证 . 推论 1 设矩阵对  ,AB 满足条件 M ，若 A 是 Hermite 矩阵，则 B 也是Hermite 矩阵，且存在 n 阶酉矩阵 U ，使得 HUAU 和 HUBU 为对角矩阵 . 证明 因为 A 是 n 阶 Hermite 矩阵，所以存在 n 阶酉矩阵 U ，使得 6  * 12, nU A U dia g    ，由定理 1 中（ 2）可知，  * 12, , , nU B U diag    显然， B 也是 Hermite 矩阵，且可同时对角化，推论 1 得证 . 推论 2 设 A ,B 是满足条件 M 的正规矩阵，则 A  B ， AB ， AB ， AB都是正规矩阵，且存在酉矩阵 U ，使得 HUAU 和 HUBU 为对角矩阵 . 推论 3 若矩阵对  ,AB 满足条件 M ，则下列条件等价： (i) A 非奇异，（ ii） B 非奇异，（ iii） AB 或 AB 非奇异，（ iv） AB 非奇异 . 推论 4 设 A ， B 是满足条件 M 的正定（或半正定）矩阵，则 AB ， AB ，AB 及 AB都是正定（或半正定）矩阵 . 两个 Hermite 矩阵积与其特征值之间的关系问题有著名的 Neumann 不等式，两个实对称矩阵和的特征值关系问题有 Hoffman— wielandt 定理，故由引理 3，引理 4 及推论 1 和 4，有 推论 5 设 A ， B 是满足条件 M 的正定矩阵，则对任意正整数 k ，有 ( ) ( ) kktr AB tr AB . 推论 6 若 A ， B 是满足条件 M 的 Hermite 阵，设 i 为 A 的特征值，则1ii i  为 B 的特征值， i i i i    1,2, ,in 为 AB 和 AB 的全体特征值 . 2 满足 ABBA  的矩阵对的一些性质 性质 1 如果 ABBA  ，则有 （ 1） ABAB mm  ， kkk BAAB )( ， ll BABA  ， klm, 均为正整数； （ 2） ABfBAf )()(  ，其中 )(Bf 是 B 的多项式，即 A 与 B 的多项式可交换； （ 3） ))(( 121   mmmmm BBAABABA  ))(( 121 BABBAA mmm   ， m 为整数； （ 4）  mkkkmkmm BACBA0)(（矩阵二项式定理）， m 为整数； 7 （ 5）  mkkkmkmm BACAB0)(， m 为整数； 性质 2 （ 1）若 ABBA  且 A 是可逆的，则 1A , B 可交换； （ 2）若 ABBA  且 B 是可逆的，则 1B , A 可交换 . 性质 3 （ 1）若 ABBA  且 A 是正交阵，则 TA , B 可交换； （ 2）若 ABBA  且 B 是正交阵，则 TB , A 可交换 . 3 主要结论及证明 结论 1 A 是正定矩阵， A 、 B 都是对称矩阵且满足 A B AB ，则 AB 是正定矩阵的充要条件是   0B . 证明 因为 A B AB ，由引理 5 得 AB BA . 从而易得       11T TA B B A A B B A， 而  B 为实数，由定理 1 即得结论 . 结论 2 矩阵 A ， B 为满足条件 A B AB 的 n 阶 Hermite 阵，且 0AB ， 则      22tr ABrank AB tr AB . 上述等式成立当且仅当存在一个具有标准正交列的矩阵  1,r n rU u u M和某个 R 使得 HAB UU .。