吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义

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96 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 (2) 被积函数表示式用极坐标变量表示较简单 ( 含 ( )x y2 2 ,  为实数 )。 例 1 计算I dx dyx y a x y aa xa a x        0 2 2 2 2 24 02 2 ( ) ( ) 解 此积分区域为 D x a x y a a x: ,0 2 2        区域的简图为 图 9213 该区域在极坐标下的表示形式为 D r a: , si n       4 0 0 2 I r d r dr a r d dra r ra dDa a           4 4 22 2402 2020240s i n s i nar c s i n      ( )    d40 240 212 32 例 2计算2D x yd，其中 D 为 2 2 2 , 0 , 0x y a x y   。 51[]15a。 例 3 计算 2222sin (Dxy dxy ，其中 D 为 2214xy  。 [4]。 例 4计算22()xyD ed ，其中 D 为 2 2 2x y a。 利用此题 推出概率积 分 20 2xe dx   97 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 例 5计算 ()D x y d，其中 D 为 222x y y。 []。 例 6计算 22D x y d，其中 D 为 222x y ax。 例 7 把积分 ( , )D f x y dxdy表为 极坐标 形式 的 二次积分 （ 1） 2: 1, 1 1D x y x    。 (2) 2 2 2 2 2 2: , ( )D x y R x R y R    . 例 8 将下述 二次积分 化 为 直角 坐标 系 下的 二次积分 44 0 ( c o s , s in )aI d f r r r d r    。 例 9利用 极坐标 计算 二重积分 21 2 22 2 2 20 0 1 0xxI d x x y d y d x x y d y       小结： 二重积分计算公式 极坐标系下   D drrrfdr dr drrf )()(21 )s i n,c os()s i n,c os( 作业： 96页 11（ 3），（ 4）； 13（ 1），（ 4）； 14（ 1），（ 2）； 15（ 2），（ 4）。 98 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 167。 ９ 3 三重积分的概念及其计算法 一、三重积分的概念 1． 三重积分的定义 设 ),( zyxf 是空间闭区域  上 的有界函数 ,将  任意地分划成 n 个小区域   v v v n1 2, , , ，其中 iv 表示第 i 个小区域 ,也表示它的体积。 在每个小区域 iv 上任取一点 ),( iii  , 作乘积 iiii vf ),(  ，作和式  ni iiii vf1 ),( ， 以  记这 n个小区域直径的最大者 ,若极限  ni iiii vf10 ),(lim 存在 ,则称此极限值为函数),( zyxf 在区域  上的三重积分 ,记作  dvzyxf ),(, 即  dvzyxf ),(=  ni iiii vf10 ),(lim . 其中 dv 叫 体积元素。 自然地 ,体积元素在 直角坐标系下也可记作成 dxdydz。 2． 三重积分的存在定理 若函数在区域上连续 , 则三重积分存在。 3． 三重积分的物理意义 如果 ),( zyxf 表示某物体在 ),( zyx 处的质量密度 ,  是该物体所占有的空间区域 ,且 ),( zyxf 在  上连续 ,则和式  ni iiii vf1 ),( 就是物体质量 m 的近似值 , 该和式当 0 时的极限值就是该物体的质量 m。 故 m =  dvzyxf ),( 特别地 , 当 ),( zyxf =1时 ,  dv的体积 . 99 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 二 ．三重积分的计算法 计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分。 1． 利用直角坐标计算三重积分 假设积分区域  的形状如下图所示 .  在 xoy 面上的投影区域为 xyD , 过 xyD 上任意一点 , 作平行于 z 轴的直线穿过  内部 , 与  边界曲面相交不多于两点。 亦即 ,  的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。 S z z x y1 1: ( , ) , S z z x y2 2: ( , ) 其中 z xy1( , ) , z xy2( , ) 在 xyD 上连续 , 并且 z x y z x y1 2( , ) ( , )。 图 941 如何计算三重积分  dvzyxf ),(呢 ? 不妨先考虑特殊情况 ),( zyxf =1,则  dv dx dy dz z x y z x y dDxy     2 1( , ) ( , )  即 dv dx dy dzz x yz x yDxy 12( , )( , ) 一般情况 下 ,类似地有 dv dxdy f x y z dzz x yz x yDxy  ( , , )( , )( , )12 显然积分  ),(),(21 ),(yxz yxz dzzyxf只是把 ),( zyxf 看作 z 的函数在区间 )],(),([ 21 yxzyxz 上对 z 求定积分 , 因此 ,其结果应是 yx, 的函数 , 记 100 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 F x y f x y z dzz x yz x y( , ) ( , , )( , )( , ) 12 那么    xyD dxdyyxFdvzyxf ),(),( 如上图所示 , 区域 xyD 可表示为 a x b y x y y x   , ( ) ( )1 2 从而   ),(),(21 ),(),(yxyyxybaD dyyxFdxdxdyyxFxy 综上讨论 , 若积分区域  可表示成 a x b y x y y x z x y z z x y     , ( ) ( ) , ( , ) ( , )1 2 1 2 则    ),(),()()(2121 ),(),(yxzyxzxyxyba dzzyxfdydxdvzyxf 这就是三重积分的计算公式 , 它将三重积分化成先对积分变量 z , 次对 y ,最后对 x 的三次积分。 如果平行于 z 轴且穿过  内部的直线与边界曲面的交点多于两个 ,可仿照二重积分计算中所采用的方法 , 将  剖分成若干个部分 ,(如 1 2, ),使在  上的三重积分化为各部分区域 ( 1 2, )上的三重积分 ,当然各部分区域 (1 2, ) 应适合对区域的要求。 例 1 计算  xyzdxdydz, 其中  为球面 x y z2 2 2 1  及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。 解 (1) 画出立体的简图 图 942 101 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 (2) 找出立体  在某坐标面上的投影区域并画出简图  在 xoy 面上的投影区域为 D x y x yxy : , ,2 2 1 0 0    (3) 确定另一积分变量的变化范围 在 xyD 内任取一点 , 作一过此点且平行于 z 轴的直线穿过区域  , 则此直线与  边界曲面的两交点之竖坐标即为 z 的变化范围。 即 0 1 2 2   z x y (4) 选择一种次序 ,化三重积分为三次积分 2222102210101010)1(21xyxxdyyxxydxx y z d zdydxx d y d zx y z d dxxxxxxxdxxyyxxydyxyyxxydxxx  102223210104232103310)1(81)1(41)1(41814141)212121(22 4812462481246224124241c o ss i n81c o ss i n41c o ss i n41c o sc o ss i n81c o ss i n41c o ss i n412052033320204232t d ttt d ttdttt d ttttttt 例 2 计算 三重积分分 xdxdydz，其中  是由三个坐标平面及平面 21x y z  所围成的空间区域。 1[]48 102 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲 义 例 3 计算 三重积分2z dxdydz，其中  是由椭球面 2 2 22 2 2 1x y za b c  所围成的空间区域。 （先二后一）。 4[]15 abc 例 3 计算 三重积分 zdxdydz，其中  是由曲面 22z x y及平面 4z 所围成的空间区域。 64[]3 小结： 三重积分的定义和计算（化三重积分为三次积分），直角坐标系下的体积元素 dxdydzdv。 作业： 106页 1（ 2），（ 3）； 2； 6。 103 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 167。 ９ 3 三重积分 二．三重积分的计算法 对于某些三重积分 ,由于积分区域和被积函数的特点 ,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。 2． 利用柱面坐 标计算三重积分 （一） .。