自考高数经管类概率论与数理统计重点

自考高数经管类概率论与数理统计重点内容摘要：

协方差具有下列性质： （ 1） （ 2） ，其中 a,b 为任意常数。 （３） 性质（ 1）～（ 3）可由定义直接证明。 （４）若 X， Y 相互独立，则 证明 若Ｘ，Ｙ相互独立，则有 反过来，若 ，则 X， Y 一定不相互独立。 【例 427】接例 426，判断 X， Y 是否相互独立。 【答疑编号： 10040303 针对该题提问】 解 由 ，知 X， Y 一定不相互独立。 相关系数 定义 45 若 ，称 为 X 与 Y 的相关系数，记为 即 例 28 若（ X， Y）的分布律为 25 求：（ 1） X 的边缘分布 （ 2） Y 的边缘分布 （ 3） EX， ， DX （ 4） EY， ， DY （ 5） E（ XY） （ 6） （ 7） （ 8）讨论 X， Y 的独立性 【答疑编号： 10040304 针对该题提问】 解：（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 26 （ 5） （ 6） （ 7） ∴ 不相关 （ 8） ∵ ∴ 不独立 本例说明 X， Y 不相关不能得出 X， Y 独立的 结论。 各问： （ 1）（ 1） 时，说 X， Y 不相关 （ 2） 时，说 X， Y 完全相关 且 （不证 ) 定理：若 X， Y 独立，则 X， Y 不相关 证： X， Y 独立，则有 E（ XY） =E（ X） E（ Y） ∴ ∴ 本定理说明 X， Y独立是 X， Y 不相关的充分条件，反之不一定成立，在例 28中，（ X，Y）不相关，但（ X， Y）并不独立。 虽然在一般情况下 ， X， Y 不相关不能得到 X， Y 一定独立的结论，但如果 X～ N ，Y～ N 则 X， Y 不相关则是 X， Y 独立的充分条件，即有 若 X， Y 都正态分布，则有 X， Y 独立的充分必要条件是 X， Y 不相关。 【例 429】设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 求：（ 1） E（ X）， E（ Y）；（ 2） D（ X）， D（ Y） ；（ 3） Cov（ X， Y）， 【答疑编号： 10040305 针对该题提问】 解：这是一道综合题，要熟练掌握解题的全过程，本题可以先求出边缘概率密度，再求 27 期望和方差，也可以直接由联合分布求期望和方差。 先画出区域的图形如图 42 所示。 解法 1 （ 1） 当 时 当 时， ∴ 当 时 当 ， 28 （ 2） （ 3） 解法 2 ∵ （ 1 ） （ 2 ） （ 3） （ 4） 29 （ 5） （ 6） （ 7） 所以， 【例 430】证明 D（ X+Y） =D（ X） +D（ Y） +2Cov（ X， Y） . 【答疑编号： 10040306 针对该题提问】 证明 【例 431】 已知 求 【答疑编号： 10040307 针对该题提问】 解： 性质 若（ X， Y）～ N 则（ X， Y）的相关系数为 ，且有 30 X 与 Y 独立 （不证） 矩、协方差矩阵 数学期望和方差可以纳入到一个更一般的概念范畴之中，那就是随机变量的矩。 定义 47（ 1）设 X 为随机变量， k 为正整数，如果 存在，则称 为 X 的 k阶原点矩，记 ，即 （ 2）如果 存在，则称 为 X 的 k 阶中心矩，记为 即 显然，一阶原点矩就是数学期望： ，二阶中心矩就是方差：. 定义 矩阵叫 （ X， Y）的协方差矩阵 【例 432】设（ X， Y）的协方差矩阵为 ，求 . 【答疑编号： 10040308 针对该题提问】 解 由协方差矩阵的定义可知 则 本章小结 本章的考核内容是 （一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。 （ 1）离散型： （ 2）连续型： （ 3） （ 4） 31 期望的性质： （ 1） E C=C （ 2） E（ kX） =kEX （ 3） E（ X177。 Y） =EX177。 EY （ 4） X,Y 独立时， E（ XY）＝（ EX）（ EY） （二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质 ∴ X 是离散型随机变量时 X 是连续型随机变量时 （ 2）计算公式 （ 3）性质 ① DC＝ 0 ② ③ D（ X177。 Y） =DX+DY177。 2E[(XEX)(YEY)] =DX+DY177。 2Cov(X,Y) ∴ X,Y 独立 X,Y 不相关时 D(X177。 Y)=DX+DY Cov(X,Y)=E[(XEX)(YEY)] 计算公式 Cov(X,Y)=E(XY)－ (EX)(EY) 相关系数 定理 X， Y 独立 X， Y 不相关（ ） 特别情形 X， Y 正态，则有 X， Y 独立 X， Y 不相关 本章作业 教材 95～ 96 页 1（ 1）（ 2）， 2， 3， 4， 5， 6， ， 7， 104～ 105 页 1， 2， 3 提示： X～ E(2),Y～ U(0, ), ， 5， 32 112～ 113 页 1， 2， 3， ， 5， 6 113～ 115 页 自我测验题 4 全部 第二章 大数定律及中心极限定理 概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科，而随 机现象的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。 研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理进行研究。 极限定理的内容非常广泛，本章中主要介绍大数定律与中心极限定理。 切比雪夫 Chebyshev 不等式 一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差，而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的。 下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式。 定理 5－ 1（切比雪夫不等式）设随机变量 X 的期望 E（ X）及方差 D（ X）存在，则对 任意小正数 ε0，有 : 或： ［例 51］设 X 是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定 ε=2,，实际计算 P{|XE（ X）|≥ε}，并验证切比雪夫不等式成立。 【答疑编号： 10050101 针对该题提问】 解 X 的分布律为 所以 33 当 ε=2时， 当 ε=， 可见，切比雪夫不等式成立。 [例 52]设电站供电网有 10 000 盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是 ，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。 试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在 6 800～ 7 200的概率。 【答疑编号： 10050102 针对该题提问】 解：设 X 表示在夜晚同时开着的电灯的数目，它服从 参数 n=10 000,p= 的二项分布。 于是有 E（ X） =np=10 000=7 000, D（ X） =npq=10 000=2100, P{6 800X7 200}=P{|X7000|200}≥1 可见，虽然 有 10 000盏灯，但是只要有供应 7 000盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用。 [例 53 补充 ] 用切比雪夫不等式估计 【答疑编号： 10050103 针对该题提问】 解： 可见，随机变量 X取值与期望 EX 的差的绝对值大于其均方差 的三倍的可能性极小。 大数定律 在第一章中曾经提到过，事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数增多，事件发生的频率将逐渐稳定于一个确定的常数值附近。 另外，人们在实践中还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，即平均结果的稳定性。 大数定律以严格的数学形式表示证明了在一定的条件下，大量重复出现的 随机现象呈现的统计规律性，即频率的稳定性与平均结果的稳定性。 贝努利大数定律 定理 52 设 m 是 n 次独立重复试验中事件 A发生的次数， p是事件 A的概率，则对任意 正数 ε，有 （不证） 贝努利大数定律说明，在大量试验同一事件 A时，事件 A的概率是 A的频率的稳定值。 34 独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律 先介绍独立同分布随机变量序列的概念。 称随机变量序列 X1,X2,…X n,… 是相互独立的，若对任意的 n1,X1,X2,…X n 是相互独立的。 此时，若所有的 Xi又具有相同的分布，则称 X1,X2,…X n,… 是独立同分布随机变量序列。 定理 53 设 X1,X2,…X n,… 是独立同分布随机变量序列 E（ Xi） =μ,D（ Xi） =σ2 （ i=1,2… ）均存在，则对于任意 ε0有 （不证） 这一定理说明：经过算术平均后得到的随机变量在统计上 具有一种稳定性，它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。 这正是大数定律的含义。 在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统计的重要理论基础。 中心极限定理 独立同分布序列的中心极限定理 定理 54 设 X1,X2,…Xn,… 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和 方差 E（ Xi） =μ， D（ Xi） =σ2（ i=1,2,… ）。 记随机变量 的分布函数为 Fn（ x），则对于任意实数 x，有 （不证） 其中 φ（ x）为标准正态分布函数。 由这 一定理知道下列结论： （ 1）当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和 的分布近似于正态分布 N（ nμ， nσ2）。 我们知道， n 个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。 中心极限定理进一步告诉我们。 不论 X1,X2,…X n,… 独立同服从什么分布，当 n充分大时 ，其和 Zn 近似服从正态分布。 （ 2）考虑 X1,X2,…X n,… 的平均值，有 35 它的标准化随机变量为 ，即为上述 Yn。 因此 的分布函数即是上述的 Fn（ x），因而有 由此可见， 当 n 充分大时，独立同分布随机变量的平均值 的分布近似于正态分布 [例 53]对敌人的防御地段进行 100 次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为 2，均方差为 ，求在 100 次射击中有 180 颗到 220 颗炮弹命中目标的概率。 【答疑编号： 10050104 针对该题提问】 解 设 Xi为第 i次射击时命中目标的炮弹数（ i=1,2,…,100 ），则 为 100 次射击中命中目标的炮 弹总数，而且 X1， X2， …X 100 同分布且相互独立。 由定理 54 可知，随机变量 近似服从标准正态分布，故有 [例 54]某种电器元件的寿命服从均值为 100（单位：小时）的指数分布。 现随机抽出16 只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件的寿命的总和大于 1 920 小时的概率。 【答疑编号： 10050105 针对该题提问】 解 设第 i只电器元件的寿命为 Xi=（ i=1,2,…16 ） , E（ Xi） =100， D（ Xi） =1002=10 000， 则 是这 16 只元件的寿命的总和。 E（ Y） =10016=1 600， D（ Y） = 160 000， 则所求概率为： 36 棣莫弗（ De Moivre） 拉普拉斯（ Laplace）中心极限定理 下面介绍另一个中心极限定理，它是定理 54 的特殊情况。 定理 55（棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理）设随机变量 Zn 是 n 次独立重复试验中。