自考线性代数(经管类)重点总结与串讲及考点突破

自考线性代数(经管类)重点总结与串讲及考点突破内容摘要：

矩阵的秩、矩阵行向量的秩、矩阵列向量的秩，这三者是相等的。 （ 5） 0 矩阵的秩就是 0，它没有非零的子式。 非零矩阵的秩一定大于等于 1。 定理 初等变换不改变矩阵的秩。 推论 设 A为 m n 阶矩阵， P， Q 分别为 m， n 阶可逆矩阵，则： r（ PA） =r（ A）， r（ AQ） =r（ A）， r（ PAQ） =r（ A）。 定理 对于任意一个非零矩阵，都可以通过初等变换把它化成阶梯形矩阵。 求矩阵的秩的方法： （ 1）对于只有 2 行或 2 列的矩阵：只要看它是否有一个二阶子式是不是不为 0，如果有，则秩为 2，因为它只有 2 行或 2 列，所以它的秩必须小于等于 2. 如： 的秩等于 2. （ 2）对于阶数比较高的矩阵可以用初等变换法求矩阵的秩：任意非零矩阵，只要经初等变换 化成阶梯形矩阵，其秩就等于该阶梯形矩阵的非零行的行数。 （注：在求矩阵的秩时，可以只用初等行变换，但也允许用初等列变换，只要化简成阶梯形，而不必化成行最简形式。 ） 例 5 求矩阵 的秩。 向量空间 n 维向量的概念 定义 由 n 个有顺序的数 组成的数组 ，称为一个 n 维向量，数 称为该向量的第 i个分量 （向量的维数指的是向量中的分量个数） ，我们分别称它们为行向量，列向量。 定义 称所有分量都为零的向量 0=（ 0,0,„ 0）为零向量。 称 为 的负向量。 定义 如果 n 维向量 的 对应分量都相等，即 则称向量α ,β相等，记为α =β。 n 维向量的线性运算（即向量的加法运算及数乘运算的统称）（与矩阵的运算性质完全一样） 定义 （向量的加法）（前提条件是：二者的维度一样，都是 n 维） 定义 （向量的数乘） ka = ak 向量线性运算的性质（与矩阵的运算性质完全一样）：设α ,β ,γ都是 n 维向量， k、 1 是数： （ 1）加法交换律 α +β =β +α （ 2）加法结合律 （α +β） +γ =α +（β +γ） （ 3）零向量满足 α +0 = 0+α =α （ 4）负向量满足 α +（ α） =0 （ 5） 1•α =α （ 6）数乘分配律 k （α +β） =kα +kβ （ 7）数乘分配律（ k+1） α =kα +1α （ 8）数乘结合律 k（ 1α） =（ k1）α =1（ kα） 向量的线性组合 定义 设β是一个 n维向量，若存在一组数 使得 则称β是 的线性组合，也称β能由 线性表出（或线性表示）。 称 为组合系数或表出系数。 是任意 n 维向量。 则 （记住这个公式） 即任意 n 维向量组都能由基本单位向量组线性表示。 线性相关与线性无关（实质上是其对应的齐次线性方程组 是否有非零解，有非零解即线性相关） 定义 设 是一组 n 维向量。 如果存在一组不全为零的数 （其中至少有一人不等于 0）使得 （这个 0 指 n 维 0 向量）则称向量组 线性相关（其实是指这个等式所对应的齐次方程组有非零解）。 否则，称向量组 线性无关。 相关定理： 定理 线性相关的充分必要条件是存在一个 （是指存在一个，并不是每一个），使得它能由该向量组的其它向量线性表示。 线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合 . 定理 线性无关，向量组 线性相关 ，则β能由向量组 线性表出，且表示法惟一。 定理 线性相关的向量组再任意扩充向量后所得的新向量组必线性相关 .（部分相关，则整体相关）；设向量组 线性无关，则它的任何一个部分组必线性无关。 （整体无关，则部分无关）（向量组的个数不一样） 定理 设向量组 线性无关，则由它生成的接长向量组 必线性无关（向量组的个数一样，只是维数不一样）（即无关组的接长向量组必为无关组）；设向量组 线性相关，则由它生成的截短向量组必线性相关（即相关组的截短向量组必为相关组）。 （接长和截短：可以往下接，也可以往上接 ）。 推论 4 若接长向量组 线性相关，必有原向量组 线性相关。 判断向量组的线性相关性的方法 （ 1）一个向量α线性相关 ； （ 2）两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例，即存在数 k，使得α =kβ或β =kα。 （ 2）含有零向量的向量组必线性相关；（虽然含有零向量的向量组必线性相关，但是线性相关的向量组不一定要含 0 向量） （ 3）向量个数＝向量维数时， n 维向量组 线性相关 ；（重中之重，每年必考）（只有向量的个数等于向量的维数时，才可以直接将向量列出行列式，求出行列式的值，只要行列式的值不等于 0，就线性 相关） （ 4）向量个数 向量维数时 , 向量组必线性相关；（这是由于当 m﹥ n 时，齐次线性方程组 Ax=0 中的变量个数 m大于方程个数 n，它必有可以任意取值的自由变量，因此，它必有非零解。 ） （ 5）向量个数＜向量维数时，可将向量列成矩阵，然后求这个矩阵的秩，只要秩 所含向量的个数则线性相关。 （ 5）若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关； （ 6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关； （ 7）向量组线性无关 向量组的秩＝所含向量的个数， 向量组线性相关 向量组的秩 所含向 量的个数； （ 8）向量组 线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组 有（没有）非零解。 向量组 线性相关：即齐次方程组 有非零解（系数行列式 =0）； 向量组 线性无关：即齐次方程组 只有零解，没有非零解。 （系数行列式≠ 0） （ 9） n维基本向量组 必线性无关（因为它们组成了一个单位矩阵的行列式，单位矩阵的行列式等于主对角线的乘积，等于 1） 极大无关组 定义 设 A是一组 n 维向量。 如果 A中存在一组向量 满足： （ 1） 线性无关； （ 2）在 A中，任取一个向量α ，则 ，α必线性相关。 则称 为 A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。 （极大无关组不惟一）（也就是说这个极大无关组任意加一个向量，都能成为线性相关，因此它称为极大） 定理 是向量组 T 的一个极大无关组，则 R 与 T 等价 ,从而它的任意两个极大无关组也等价。 （要证明二者是否等价，只要证明是否可以相互线性表出） 等价关系具有：反身性；对称性；传递性。 即： （１） 反身性：Ｒ与Ｒ自身等价； （２） 对称性：若Ｒ与Ｓ等价，则Ｓ与Ｒ等价（即：若Ｒ可以由Ｓ表出，那么Ｓ也可以由Ｒ表出） （３） 传递性：若Ｒ 与Ｓ等价，Ｓ与Ｔ等价，则Ｒ与Ｔ等价（即：若Ｒ可以由Ｓ线性表出，Ｓ可由Ｔ线性表出，那么Ｒ必可由Ｔ线性表出）。 向量组的秩 定义 向量组的极大无关组所含向量的个数为该向量组的秩，记为 r(A)（只含零向量的向量组的秩为 0） 定理 如果向量组 S 可以由向量组 T 线性表出，则 r(S)≤ r(Ｔ )。 推论 5 等价的向量组必有相等的秩。 定理 矩阵 A 的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。 （今后统称为矩阵 A的秩。 ） 通过求矩阵的秩来求向量组的秩的方法：把向量组构成行或列的矩阵，然后 通过初等变换求出矩阵的秩。 例 5 求向量组 的秩。 求向量组的极大无关组的方法（非常重要，每次考试都有） 对于列向量组 （注意：都是列向量）构成的矩阵 （只进行行变换）（变换成行最简形式） （ 1）用列向量做成矩阵 A；（注意是：列） （ 2）对 A做初等行变换（注意是：行），变换成行最简形式 B，使 （ 3）求出 B 的秩等于多少，进一步知道其极大无关组所含的向量的个数，一般尽量用前面的作为它的极大无关组。 （ 4） A的秩、极大无关组、并将其余向量由该极大无关组线性表示完全与 B 相同。 因为初等变换不改变矩阵 的秩 若 线性无关 , 线性相关 ,则 可以由 线性表示。 则以 为增广矩阵的线性方程组与 为增广矩阵的线性方程组同解 ,所以 ,若。 例 7 （ 1）求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （ 2）这个向量组有几个极大无关组。 例 12 设向量组 （ 1）求向量组的秩和一个极大线性无关组； （ 2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合。 所以原向量组的秩为 3， 为所求的极大无关组。 . 例 8 用矩阵的秩与向量组的秩的关系证明： 即 A、 B 两个矩阵的 乘积矩阵的秩小于等于 r（ A），同时小于等于 r（ B）（有技巧） 证 设 A为 m n 阶矩阵，Ｂ为 n k 阶矩阵。 （ A按列做分块矩阵，变成一行 n 列） 其中 这表明向量组 C 能由向量组 A线性表出。 所以 R（ AB）≤ R（ A）。 因为。 命题得证。 向量空间 定义 n 维实向量的全体构成的集合称为实 n 维向量空间，记作。 定义 设 V是 的一个非空子集，且满足 （ 1）若 则； （ 2）若 ，则 则称 V 是 的子空间（简称为向量空间）。 （即对加法、乘法运算封 闭。 对某运算封闭是指在所给空间 R 中，对 R 中的任何量之间做该种运算后得到的量还在这个空间上。 只要有一个量在这个空间上就说明他是封闭的，要判断一个量是否属于 V，只需判别它的一个分量是否等于 V的任意一个分量，如果等于，就是满足封闭运算，即属于 V。 ） 的一个子空间，称为零子空间。 任意一个子空间 V中一定包含零向量。 任意一个向量空间都是由它的任意一个基（即极大无关组）生成的。 总结，在做证明题取基时，可用单位向量。 定义 对任意的一组 n 维向量 ，由它们的全体线性组合组成的集合 生成的子空 间，记为 （这里的 理解为其中 ） 定义 设 V是 的一个向量空间（子空间）。 若 V中的向量组 ，满足： （ 1） 线性无关； （ 2） V 中的任意一个向量α，都能由 线性表出（α , 线性相关，且表示法惟一），即存在惟一一组数 ，使得。 则称向量组 为 V的一个基（实际上就是 V的极大无关组，这个向量空间的任何一个向量都可以由它表示），称 r 为向量空间 V的维数（实际上就是这个向量的秩，即它的极大无关组所包含的向量的个数），称 为向量α在这个基下的坐标（实际上就是组合系数）。 没有基，定义为 0 维。 （ 如果向量空间的基确定了，那么这个向量空间的任何一个向量都可以由这个基线性表出，而且表示法是惟一的。 ） 例 6 求 中由向量组 生成的子空间的基和维数。 （其实就是求这个向量组的极大无关组和秩） 例 11 已知向量组 是 的一组基，则向量 在这组基下的坐标是 ____________. 解 考虑 ， 该线性方程组的增广矩阵为 得 所以 在这组基下的坐标是 (3,2,1) （即 ） 线性方程组（齐次方程组必有 0 解，而非齐次方程组未必有解） 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件： A为 m n 阶矩阵 时： 注：以下 r 为系数矩阵 A的秩， n是未知数的个数（也是矩阵A的列数） （１） Ax=0 只有零解的充分必要条件是 r(A)=n；此时， Ax=0 没有基础解系； （２） Ax=0 有非零解的充分必要条件是 r (A)n；此时， Ax=0 有无穷多个基础解系。 另一种等价的说法：齐次方程组有非零解的充分必要条件就是 A的列向量组 线性相关 （ 1） 向量组线性无关 向量组的秩＝所含向量的个数，（向量的个数即矩阵 A 的列数、未知数的个数） （ 2）向量组线性相关 向量组的秩 所含向量的个数； A为 n 阶方阵时： （１） Ax=0 只有零解的充分必要条件是 （或 r(A)=n） （２） Ax=0 有非零解的充分必要条件是 (或 r(A)n) 设 A是 m n阶矩阵 .若 m＜ n，则齐次方程组 AX＝ 0 必有非零解 .（这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要） 齐次线性方程组解的性质： 性质 1：若 都是齐次方程组 AX=0 的解，则 也是齐次方程组 AX=0 的解。 （即加法运算封闭） 性质 2：若 是齐次方程组 AX=0 的解， k是一个数，则 也是齐次方程组 AX=0 的解。 （即数乘运算封闭） 以上性质综合的表示法是：设α ,β都是 Ax＝ 0 的解，则 C1α＋ C2β 也是 Ax＝ 0 的解（ C1，C2 为任意常数）（即齐次线性方程组的任意有限个解的任意线性组合必是它的解。 ） 以上两条性质说明 是 的一个子空间，所以我们称它为齐次方程组 AX=0的解空间，它是齐次方程组所有的解组成的集合。 解空间的维数即这个解空间所包含的解向量的个数，对于。