自考线性代数(经管类)第1-6章教案(已排版

自考线性代数(经管类)第1-6章教案(已排版内容摘要：

. 2．向量的线性组合 设 m , 21  是一组 n 维向量， mkkk , 21  是一组常数，则称 mmkkk   2211 为 m , 21  的一个线性组合，常数 mkkk , 21  称为组合系数 . 若一个向量  可以表示成 mmkkk   2211 则称  是 m , 21  的线性组合，或称  可用 m , 21  线性表出 . 3．矩阵的行、列向量组 设 A 为一个 nm 矩阵，若把 A 按列分块，可得一个 m 维列向量组称之为 A 的列向量组 . 若把 A 按行分块，可得一个 n 维行向量组称之为 A 的行向量组 . 4．线性表示的判断及表出系数的求法 . 向量  能用 m , 21  线性表出的充要条件是线性方程组  mmxxx 2211 有解，且每一个解就是一个组合系数 . 例 1 问 T)5,1,1( 能否表示成 T)3,2,1(1  ， T)4,1,0(2  ，T)6,3,2(3  的线性组合。 解：设线性方程组为   332211 xxx 对方程组的增广矩阵作初等行变换：  110020201001564313121201),(),( 321 A 则方程组有唯一解 1,2,1 321  xxx 所以  可以唯一地表示成 321 ,  的线性组合，且 321 2   （一） 向量组的线性相关与线性无关 设 m , 21  是 m 个 n 维向量，如果存在 m 个不全为零的数mkkk , 21  ，使得 02211  mmkkk  ，则称向量组 m , 21  线性相关，称mkkk , 21  为相关系数 .否则，称向量 m , 21  线性无关 . 由定义可知， m , 21  线性无关就是指向量等式02211  mmkkk  当且仅当 021  mkkk  时成立 . 特别 单个向量  线性相关  0 ； 单个向量  线性无关  0 2．求相关系数的方法 设 m , 21  为 m 个 n 维列向量，则 m , 21  线性相关  m 元齐次线性方程组 02211  mmxxx  有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数  矩阵 ),( 21 mA   的秩小于 m 例 2 设向量组 1 2 3( 2 , 1 , 7 ) , ( 1 , 4 , 1 1 ) , ( 3 , 6 , 3 )T T T      ，试讨论其线性相关性 . 解：考虑 方程组 0332211   xxx 其系数矩阵 0001102013117641312),( 321 A 于是，秩 32)( A ，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为    0023231 xx xx 令 13x ，得一个非零解为 1,1,2 321  xxx 则 02 321   3．线性相关性的若干基本定理 定理 1 n 维向量组 m , 21  线性相关  至少有一个向量是其余向量的线性组合 .即 m , 21  线性无关  任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合 . 定理 2 如果向量组 m , 21  线性无关，又 m , 21  线性相关，则  可以用 m , 21  线性表出，且表示法是唯一的 . 定 理 3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关 . 定理 4 无关组的接长向量组必无关 . （三）向量组的极大无关组和向量组的秩 1．向量组等价的概念 若向量组 S 可以由向量组 R 线性表出，向量组 R 也可以由向量组S 线性表出，则称这两个向量组等价 . 2．向量组的极大无关组 设 T 为一个向量组，若存在 T 的一个部分组 S，它是线性无关的，且 T 中任一个向量都能由 S 线性表示，则称部分向量组 S 为 T 的一个极大无关组 . 显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身 . 对于线性相关的向量组，一般地 ，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质： 定理 1 向量组 T 与它的任一个极大无关组等价，因而 T 的任意两个极大无关组等价 . 定理 2 向量组 T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同 . 3．向量组的秩与矩阵的秩的关系 把向量组 T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组 T 的秩 . 把矩阵 A 的行向量组的秩，称为 A 的行秩，把 A 的列向量组的秩称为 A 的列秩 . 定理：对任一个矩阵 A， A 的列秩 =A 的行秩 =秩（ A） 此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵 A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极 大无关组 . 例 3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出： )3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,2,1(),7,2,1,1( 54321   解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个 54 矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵  BA TTTTT 1000001100010100000133697446224112122111, 54321  易见 B 的秩为 4， A 的秩为 4，从而秩   4, 54321  ，而且 B中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地 5321 ,  为向量组的一个极大无 关组，而且 324   （四）向量空间 1． 向量空间及其子空间的定义 定义 1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实 n 维向量空间，记作 nR 定义 2 设 V 是 n 维向量构成的非空集合，若 V 对于向量的线性运算封闭，则称集合 V 是 nR 的子空间，也称为向量空间 . 设 V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间 V 的一个基，把向量组 的秩称为向量空间的维数 . 显然， n 维向量空间 nR 的维数为 n，且 nR 中任意 n 个线性无关的向量都是 nR 的一个基 . 3. 向量在某个基下的坐标 设 r , 21  是向量空间 V 的一个基，则 V 中任一个向量  都可以用 r , 21  唯一地线性表出，由 r 个表出系数组成的 r 维列向量称为向量  在此基下的坐标 . 第四章 线性方程组 （一） 线性方程组关于解的结论 定理 1 设 bAX 为 n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是 )(),( ArbAr  定理 2 当 n 元非齐次线性方程组 bAX 有解时，即rArbAr  )(),( 时，那么 （ 1） bAX 有唯一解  nr ； （ 2） bAX 有无穷多解  nr . 定理 3 n 元齐次线性方程组 0AX 有非零解的充要条件是nrAr )( 推论 1 设 A 为 n 阶方阵，则 n 元齐次线性方程组 0AX 有非零解  0A 推论 2 设 A 为 nm 矩阵，且 nm ，则 n 元齐次线性方程组必有非零解 （二）齐次线性方程组解的性质与解空间 首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解 . 考虑由齐次线性方程组 0AX 的解的全体所组成的向量集合  0  AV 显然 V 是非空的，因为 V 中有零向量，即零解，而且容 易证明 V对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是 V 成为 n 维列向量空间 nR 的一个子空间，我们称 V为方程组 0AX 的解空间 （三）齐次线性方程组的基础解系与通解 把 n 元齐次线性方程组 0AX 的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系 . 当 n 元齐次线性方程组 0AX 有非零解时，即 nrAr )( 时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为rn 求基础解系与通解的方法是： 对方程组 0AX 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系 . 例 1 求002230322432143214321xxxxxxxxxxxx 的通解 解：对系数矩阵 A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵： 122 1 2 3 1 0 3 4 1 0 3 43 2 1 2 1 1 1 1 0 1 4 51 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0A                                行 (1)+2 行 行 (1)+3 行3 行 (1)+1 行 1 行 (1)+2 行 42)( Ar ， 有非零解，取 43,xx 为自由未知量，可得一般解为4433432431,54,43xxxxxxxxxx 写成向量形式，令 13 kx  ， 24 kx  为任意常数，则通解为1054014321 kkX 可见，1054,014321  为方程组的一个基础解系 . （四） 非齐次线性方程组 （即导出组）的解之间的关系 设 bAX 为一个 n 元非齐次线性方程组， 0AX 为它的导出组，则它们的解之间有以下性质： 性质 1 如果 21, 是 bAX 的解，则 21   是 0AX 的解 性质 2 如果  是 bAX 的解，  是 0AX 的解，则  是 bAX的解 由这两个性质，可以得到 bAX 的解的结构定理： 定理 设 A 是 nm 矩阵，且 rArbAr  )(),( ，则方程组 bAX 的通解为 rnrnkkkX   2211* 其中 * 为 bAX 的任一个解（称为特解） , rn , 21  为导出组0AX 的一个基础解系 . 2．求非齐次线性方程组的通解的方法 对非齐次线性方程组 bAX ，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解 . 例 2 当参数 a， b 为何值时，线性方程组1232)3(122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx 有唯一解。 有无穷多解。 无解。 在有无穷多解时，求出通解 . 解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：   2342411 1 1 1 0 1 1 1 1 00 1 2 2 1 0 1 2 2 1( , )0 1 3 2 0 0 1 0 13 2 1 1 0 1 2 3 11 0 1 1 10 1 2 2 10 0 1 0 10 0 0 1 0Aba b a baaaba   。