自考概率论与数理统计串讲笔记

自考概率论与数理统计串讲笔记内容摘要：

题提问】　　解：用A表示某人寿命为70岁，B表示某人寿命为80岁。 已知P（A）=，P（B）=　　由于　　因为　　所以，　　乘法公式可以推广为：　　　　例6，袋中有三件正品，二件次品（√√√）从中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率。 【答疑编号：10010411针对该题提问】　　解：用A1表示第一次取到正品　　A2表示第二次取到正品　　A3表示第三次取到正品　　则　　　　用古典概型计算P（A1），这时n1=5，r1=3　　　　再用古典概型计算，这时n2=4，r2=2　　　　再用古典概型计算，这时n3=3，r3=2　　　　　　（二）全概公式 定义：若事件组满足条件（1）互不相容（2）在一次试验中，事件组中至少发生一个，即 就说事件组是样本空间Ω的一个划分。 例如事件组A与有所以事件组是样本空间的一个划分。 例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1表示该产品由甲厂生产，A2表示该产品由乙厂生产，A3表示该产品由丙厂生产，则事件组A1，A2，A3满足：　　（1）　　（2）　　所以事件组A1，A2，A3是样本空间的一个划分。 下面介绍全概公式 设是样本空间Ω的一个划分，B是一个事件，则有：　　【答疑编号：10010412针对该题提问】　　证：∵ 　　又∵ΩB=B　　　　∵互不相容　　∴也互不相容　　∴　　用乘法公式上式可改写为　　　　特别地（1）若是Ω的一个划分，则有　　　　（2）∵是Ω的一个划分，所以　　　　全概公式的优点是当P（B）不易求而且条件概率容易计算时，可用全概公式求P（B）　　例1，袋中有5个球，其中有3个红球，2个白球，从中每次取出一个球（不放回）用A表示第一次取到红球，B表示第二次取到红球，求　　（1）P（A）；　　【答疑编号：10010413针对该题提问】　　（2）P（B）　　【答疑编号：10010414针对该题提问】　　解：（1）用古典概型n=5,r=3　　　　（2）直接求P（B）很困难，因为B发生的概率与事件A发生与之有关，用古典概型容易求得：　　　　所以可用全概公式计算　　　　可见第一次，第二次取到红球的概率相同。 例2，已知男人中有5%是色盲，女人中有1%是色盲，若人群中男女各半。 当在人群中任取一人，问该人是色盲的概率是多少。 【答疑编号：10010415针对该题提问】　　解：用B表示该人是色盲者，（B）比较困难，原因在于该人是色盲的概率与该人的性别有关，但已知　　　　例3，甲乙两台车床加工同一产品，，又知甲车床的产量是乙车床产量的两倍，现将两台车床的产品放在一起，从中任取一件，求该产品是次品的概率。 【答疑编号：10010416针对该题提问】　　解：用B表示该产品是次品，A表示该产品由甲车床生产　　已知　　 　　　　例4，二门导弹射击敌机，,，敌机中二弹时。 求敌机被击落的概率。 【答疑编号：10010417针对该题提问】　　解：用AK表示敌机的被击中K弹，K=0,1,2；B表示敌机被击落　　已知　　　　显然有　　其中A0,A1,A2是Ω的一个划分　　　　（三）逆概公式（贝叶斯公式）　　由 可得　公式叫逆概公式（贝叶斯公式）　　当P（A）,P（B），已知时，可反过来求。 例5，当下暴雨时，；当不下暴雨时，求：　　（1）该地七月份有水灾的概率.　　【答疑编号：10010501针对该题提问】　　（2）当该地七月份已发生水灾时，下暴雨的概率.　　【答疑编号：10010502针对该题提问】　　　　解：用B表示该地七月有水灾；　　A表示该地七月下暴雨　　已知　　　　（1）　　（2）　　例6，某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占50%，乙厂产量占30%，丙厂产量占20%，求：　　（1）该产品的次品率　　【答疑编号：10010503针对该题提问】　　　　（2）若任取一件，该件是次品，求这件次品分别是甲厂、乙厂、丙厂的产品的概率。 【答疑编号：10010504针对该题提问】　　　　解：用B表示产品是次品，A1表示甲厂的产品，A2表示乙厂的产品，A3表示丙厂的产品。 所以表示已知产品甲厂产品时，该产品是次品　　表示已知产品是乙厂产品时，该产品是次品。 表示已知该产品是丙厂产品时，该产品是次品。 则表示已知产品是次品时，它是甲厂产品；　　则表示已知产品是次品时，它是乙厂产品；　　则表示已知产品是次品时，它是丙厂产品；　　∴（1）　　　　（2）　　　　　　　　可见，若该产品是次品，则此次品是丙厂产品的可能性最大。 例7，甲袋中有3个白球，2个红球，乙袋中有2个白球，3个红球，先从甲袋中取一个球放入乙袋，再从乙袋中取一个球，求：　　（1）从乙袋中取出的球是白球的概率；　　【答疑编号：10010505针对该题提问】　　　　（2）如果从乙袋中取出的球是白球，则这时从甲袋中取出白球的概率是多少。 从甲袋中取出红球的概率是多少。 【答疑编号：10010506针对该题提问】　　　　解：用B表示从乙袋中取出白球；A表示从甲袋中取出白球，所以表示从甲袋中取出红球。 已知 　　（1）　　　　（2）　　　　 　　　　可见从甲袋中取出白球的可能性大。 例8，已知，　　求（1）P（AB）；　　【答疑编号：10010507针对该题提问】　　（2）　　【答疑编号：10010508针对该题提问】　　解：（1）　　　　（2）　　例9，若；　　求（1）P（B）；　　【答疑编号：10010509针对该题提问】　　　　（2）P（A+B）　　【答疑编号：10010510针对该题提问】　　　　解：（1）　　　　（2）　　（3）　　 　　例10，已知；求　　【答疑编号：10010511针对该题提问】　　　　解：（1）　　（2）　　　　（3）　　　　 　　167。 事件的独立性　　（一）事件的独立性　（1）定义：若P（AB）=P（A）P（B），就说事件A与事件B相互独立。 （2）A与B独立的性质　　性质一，若A与B独立，则 　　而若A与B独立，则　　证：∵A与B独立，∴P（AB）=P（A）P（B）　　（1）当P（A）0时，　　（2）当P（B）0时，　　性质一说明A与B相互独立时，A发生与否，对B发生的概率没有影响，而且，B发生与否也对A发生的概率没有影响。 性质二，若A与B独立，则有　（1）与独立（2）与B独立（3）A与独立 　　证：用独立性定义：　　（1）∵A与B独立，∴P（AB）=P（A）P（B）　　由对偶公式　　　　∴与独立　　（2）　　 　　　　∴与B相互独立　　（3）　　　　∴A与相互独立　　由A与B独立这一定义可推广有下列结果：　若A，B，C相互独立，则有P（ABC）=P（A）P（B）P（C）　　若相互独立，则有 　　，求三粒种子中至少有一粒发芽的概率。 【答疑编号：10010601针对该题提问】　　（解一）用B表示三粒种子中至少有一粒发芽　　A1表示第一粒种子发芽　　A2表示第二粒种子发芽　　A3表示第三粒种子发芽　　　　　　很明显，A1，A2，A3相互独立　　　　（解二）用对偶公式　　　　、乙、丙三人独立破译敌码。 甲能破译的概率为。 乙能破译的概率为。 丙能破译的概率为 .求密码被破译的概率。 【答疑编号：10010602针对该题提问】　　解：用B表示敌码被破译　　∴B=甲+乙+丙。 ；；。 求该种产品的正品率和次品率。 【答疑编号：10010603针对该题提问】　　解：用B表示产品是正品　　A1表示第一工序是正品　　A2表示第二工序是正品　　A3表示第三工序是正品　　∴B=A1A2A3　　（1）　　（2）　　（二）重复独立试验概型　　先请看引例：某人射击目标的命中率为P，他向目标射击三枪，求这三枪中恰中二枪的概率。 【答疑编号：10010604针对该题提问】　　解：用B表示射击三枪，恰中二枪的事件　　A1表示第一枪击中目标　　A2表示第二枪击中目标　　A3表示第三枪击中目标　　　　其中A1，A2，A3独立　　　　　　由本例可见与，大小相同都是P2（1P），总共有三类，相当于从1，2，3这三个数中，任取二个的方法数 　　由本例可以推广为：　　某人射击目标的命中率为P（即每次命中率都是P），他向目标射击n枪，则这n枪中恰中k枪的概率为：　　P（射击n枪，恰中k枪）=　　一般地，有下面普遍结果：　　如果在每一次试验中，事件A发生的概率不变都是P（A）=p，则在这样的n次重复相同的试验中，事件A发生k次的概率的计算公式为：　　P（在n次重复试验中，A发生k次）= 　　其中P表示在每一次试验时，A的概率，记为p=P（A），习惯用符号Pn（k）表示在n次重复试验中，事件A发生k次的概率。 ，每次射击的命中率P=，求　　（1）恰好命中两次的概率；　　（2）至少命中一次的概率。 【答疑编号：10010605针对该题提问】　　解：（1）　　（2）用B表示至少命中1次的事件　　则表示最多命中0次的事件，故 表示恰好命中0次的事件　　　　，每台车床在一天内出现故障的概率P=，求在一天内：　　（1）没有机床出现故障的概率；　　（2）最多有一台机床出现故障的概率。 【答疑编号：10010606针对该题提问】　　解：（1）所求概率为：　　　　（2）所求概率为：　　　　，事件A发生的概率为P（A）=，问至少做多少次试验。 【答疑编号：10010607针对该题提问】　　解：设所需试验次数为n，它的对立事件为Pn（0）　　　　答：试验次数至少4次　　例4，某射手射击目标4次，且知道至少击中一次的概率为，求该射手射击1次的命中率P。 【答疑编号：10010608针对该题提问】　　解：P（至少射中1次）=1P（射中0次）　　　　本章考核内容小结　　（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式　　　　计算简单的古典概型的概率　　（二）知道事件的四种关系　　（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生　　（2）相等：　　（3）互斥：与B互斥　　（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω　　（三）知道事件的四种运算　　（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生　　性质：（1）若，则A+B=A（2）且 　　（2）事件积（交）AB表示A与B都发生　　性质：（1）若，则AB=B∴ΩB=B且　　（2）　　（3）事件的差：AB表示A发生且B不发生　　∴，且AB=AAB　　（4）表示A不发生　　性质　　　　（四）运算关系的规律　　（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律　　（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律　　（AB）C=A（BC）　　（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律　　（A+B）（A+C）=A+BC　　（4）叫对偶律　　（五）掌握概率的计算公式　　（1）P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）　　特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）　　②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）P（A）P（B）　　③　　推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）P（AB）P（AC）P（BC）+P（ABC）　　（2）　　推广：　　　　当事件独立时，　　P（AB）=P（A）P（B）　　P（ABC）=P（A）P（B）P（C）　　P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）　　性质若A与B独立与B，A与，与均独立　　（六）熟记全概率公式的条件和结论　　若A1，A2，A3是Ω的划分，则有　　　　简单情形　　　　熟记贝叶斯公式　　若已知，则　　　　（七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式　　第二章 随机变量及其变量分布　　167。 离散型随机变量　　（一）随机变量　　引例一：掷骰子。 可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}.　　我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1；x=2表示点数为2；…，X=6，表示点数为6。 引例二，掷硬币，可能结果为Ω={正，反}.　　我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。 引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使aXb，表示灯泡使用寿命在a（小时）与b（小时）之间。 例如，1000≤X≤2000　表示灯泡寿命在1000小时与2000小时之间。 0X4000表示灯泡寿命在4000小时以内的事件。 定义1：若变量X取某些值表示随机事件。 就说变量X是随机变量。 习惯用英文大写字母X,Y,Z表示随机变量。 例如，引例一、二、三中的X都是随机变量。 （二）离散型随机变量及其分布律　　定义2　若随机变量X只取有限多个值或可列的无限多个（分散的）值，就说X是离散型随机变量。 例如，本节中的引例一、引例二的X是离散型随机变量。 定义3　若随机变量X可能取值为且有（k=1,2,…,n,…）或有　　 　　其中，第一行表示X的取值，第二行表示X取相应值的概率。