自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记

自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记内容摘要：

】 （ 2） P（ B）； 【答疑编号： 10010312针对该题提问】 （ 3） P（ A+B）； 【答疑编号： 10010313针对该题提问】 （ 4） P（ AB） 【答疑编号： 10010314针对该题提问】 解：（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 由本例看出， P（ A+B） =P（ A） +P（ B） P（ AB），本例的结果具有普遍性，下面我们不加证明地介绍下面公式： 特别情形： （ 1）如果 A与 B 互斥，即 AB=Φ则 P（ AB） =0 这时 （ 2）因为 A与 有性质 所以 当上面等式中左边的概率 P（ A）不易求得，而且 A的对立事件 的概率 则较易计算时，便可以通过容易计算的 求 难计算的概率 P（ A）。 例 1若 P（ A） =， P（ A+B） =， P（ AB） =，求 P（ B） 【答疑编号： 10010315针对该题提问】 解：因为 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） P（ AB） ∴P （ B） =P（ A+B） +P（ AB） P（ A） =+= 例 2，袋中有 10件产品，其中有 6件正品， 4件次品，从只任取 3件，求所取 3件中有次品的事件 A的概率。 【答疑编号： 10010316针对该题提问】 解： A表示有次品，它包含有 1件次品，有 2件次品，有 3件次品三类事件，计算比较复杂。 而对立事件 则表示没有次品 ，即都是正品的事件，比较简单。 因为基本事件总数 事件 包含的基本事件 加法公式可推广如下： 例 3， P（ A） =， P（ B） =， P（ C） =， P（ AB） =， P（ AC） =， P（ BC）=0，求 P（ A+B+C）。 【答疑编号： 10010317针对该题提问】 解： （五）概率的减法公式 因为 ，而 ，而 BA与 明显不相容。 特别地，若 ，则有 AB=A 所以当 例 1 ，已知 P（ B） =， P（ AB） =，求 【答疑编号： 10010318针对该题提问】 解： 例 2，若 A与 B互不相容， P（ A） =， P（ B） =，求 【答疑编号： 10010319针对该题提问】 解：（ 1） P（ A+B） =P（ A） +P（ B） = 根据对偶公式 所以 167。 条件概率 （一）条件概率和乘法公式 符号 叫在事件 B 已经发生的条件下，事件 A发生的概率，叫条件概率 ，需要指出 的是 条件概率 仍是事件 A的概率，但是它有条件，条件是以 B 已经发生为前提，或者 是以 B 已经发生为条件。 例 1，某厂有 200名职工，男、女各占一半，男职工中有 10人是优秀职工，女职工中有 20人是优秀职工，从中任选一名职工。 用 A表示所选职工优秀， B表示所选职工是男职工。 求（ 1） P（ A）； 【答疑编号： 10010401针对该题提问】 （ 2） P（ B）； 【答疑编号： 10010402针对该题提问】 （ 3） P（ AB）； 【答疑编号： 10010403针对该题提问】 （ 4） ； 【答疑编号： 10010404针对该题提问】 解：（ 1） （ 2） （ 3） AB表示所选职工既是优秀职工又是男职工 （ 4） 表示已知所选职工是男职工。 在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是优秀职工，这时 n=100,r=10 由本例可以看出 事件 A与事件 不是同一事件 ,所以它们的概率不同 ,即 由本例还可看出 , 事件 AB与事件 也不相同， 事件 AB 表示所选职工既是男职工又是优秀职 工，这时基本事件总数 n1=200， r=10。 而事件 则表示已知所选职工是男职工， 所以基本事件总数 n2=100， r=10，所以 虽然 P（ AB）与 不相同，但它们有关系，由本例可以看出 本例的结果具有普遍性。 下面我们不加证明地给出下面的乘法公式： 显然有：若 P（ A） 0则有 将上面的结果改写为整式有 ∴ 公式 叫概率的乘法公式。 例 2，在 10件产品中，有 7件正品， 3件次品，从中每次取出一件（不放回）， A表示第一次取出正品， B表示第二次取出正品，求： （ 1） P（ A）； 【答疑编号： 10010405针对该题提问】 （ 2） ； 【答疑编号： 10010406针对该题提问】 （ 3） P（ AB） 【答疑编号： 10010407针对该题提问】 解（ 1） （ 2） ∴ （ 3） = 例 3，若 P（ AB） =， P（ B） =，求 【答疑 编号： 10010408针对该题提问】 解： 例 4，若 P（ A） =， P（ B） =， ，求。 【答疑编号： 10010409针对该题提问】 解：（ 1） ∴ （ 2） 例 5，某人寿命为 70岁的概率为 ，寿命为 80岁的概率为 ，若该人现已 70岁时，问他能活到 80岁的概率是多少。 【答疑编号： 10010410针对该题提 问】 解：用 A表示某人寿命为 70岁， B表示某人寿命为 80 岁。 已知 P（ A） =， P（ B） = 由于 因为 所以，已经活到 70岁的人能活到 80岁的概率为 乘法公式可以推广为： 例 6，袋中有三件正品，二件次品（ √√√ ）从中每次 取出 1件（不放回）共取 3次，求第 3次才取到次品的事件 B的概率。 【答疑编号： 10010411针对该题提问】 解：用 A1表示第一次取到正品 A2表示第二次取到正品 A3表示第三次取到正品 则 用古典概型计算 P（ A1），这时 n1=5， r1=3 再用古典概型计算 ，这时 n2=4， r2=2 再用古典概型计算 ，这时 n3=3， r3=2 （二）全概公式 定义：若事件组 满足条件 （ 1） 互不相容 （ 2）在一次试验中，事件组 中至少发生一个，即 就说事件组 是样本空间 Ω的一个划分。 例如事件组 A与 有 所以事件组 是样本空间的一个划分。 例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产， A1表示该产品由甲厂生产， A2表示该产品由乙厂生产， A3表示该产品由丙厂生产，则事件组 A1， A2， A3满足： （ 1） （ 2） 所以事件组 A1， A2， A3是样本空间的一个划分。 下面介绍全概公式 设 是样本空间 Ω的一个划分， B是一个事件，则有： 【答疑编号： 10010412针对该题提问】 证： ∵ 又 ∵ΩB=B ∵ 互不相容 ∴ 也互不相容 ∴ 用乘法公式上式可改写为 特别地（ 1）若 是 Ω 的一个划分，则有 （ 2） ∵ 是 Ω 的一个划分，所以 全概公式的优点是当 P（ B）不易求而且条件概率容易计算时，可用全概公式求 P（ B） 例 1，袋中有 5个球，其中有 3个红球， 2个白 球，从中每次取出一个球（不放回）用A表示第一次取到红球， B表示第二次取到红球，求 （ 1） P（ A）； 【答疑编号： 10010413针对该题提问】 （ 2） P（ B） 【答疑编号： 10010414针对该题提问】 解：（ 1）用古典概型 n=5,r=3 （ 2）直接求 P（ B）很困难，因为 B发生的概率与事件 A发 生与之有关，用古典概型容易求得： 所以可用全概公式计算 可见第一次，第二次取到红球的概率相同。 例 2，已知男人中有 5%是色盲，女人中有 1%是色盲，若人群中男女各半。 当在人群中任取一人，问该人是色盲的概率是多少。 【答疑编号： 10010415针对该题提问】 解：用 B表示该人是色盲者， A表示该人是男人 .直接求 P（ B）比较困难，原因在于该人是色盲的概率与该人的性别有关，但已知 例 3，甲乙两台车床加工同一产品，甲车床的次品率为 ，乙车床的次品率为 ，又知甲车床的产量是乙车床产量的两倍，现将两台车床的产品放在一 起，从中任取一件，求该产品是次品的概率。 【答疑编号： 10010416针对该题提问】 解：用 B表示该产品是次品， A表示该产品由甲车床生产 已知 例 4，二门导弹射击敌机，敌机未被击中的概率为 ，被击中一弹的概率为 ,被击中二弹的概率为 ，若敌机中一弹时被击落的 概率为 ，敌机中二弹时，被击落的概率为。 求敌机被击落的概率。 【答疑编号： 10010417针对该题提问】 解：用 AK表示敌机的被击中 K弹， K=0,1,2； B表示敌机被击落 已知 显然有 其中 A0,A1,A2是 Ω 的一个划分 （三）逆概公式（贝叶斯公式） 由 可得 公式 叫逆概公式（ 贝叶斯公式） 当 P（ A） ,P（ B）， 已知时，可反过来求。 例 5，某地七月份下暴雨的概率为 ，当下暴雨时，有水量的概率为 ；当不下暴雨时，有水量的概率为 ，求： （ 1）该地七月份有水灾的概率 . 【答疑编号： 10010501针对该题提问】 （ 2）当该地七月份已发生水灾时 ，下暴雨的概率 . 【答疑编号： 10010502针对该题提问】 解：用 B表示该地七月有水灾； A表示该地七月下暴雨 已知 （ 1） （ 2） 例 6，某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占 50%，次品率为 ，乙厂产量占 30%，次品率为 ，丙厂产量占 20%，次品率为 ，求： （ 1）该产品的次品率 【答疑编号： 10010503针对该题提问】 （ 2）若任取一件，该件是次品，求这件次品分别是甲厂、乙厂、丙厂的产品的概率。 【答疑编号： 10010504针对该题提问】 解：用 B表示产品是次品， A1表示甲厂的产品， A2表示乙厂的产品， A3表示丙厂的产品。 所以 表示 已知产品甲厂产品时，该产品是次品 表示已知产品是乙厂产品时，该产品是次品。 表示已知该产品是丙厂产品时，该产品是次品。 则表示已知产品是次品时，它是甲厂产品； 则表示已知产品是次品时，它是乙厂产品； 则表示已知产品是次品时，它是丙厂产品； ∴ （ 1） （ 2） 可见，若该产品 是次品，则此次品是丙厂产品的可能性最大。 例 7，甲袋中有 3个白球， 2个红球，乙袋中有 2个白球， 3个红球，先从甲袋中取一个球放入乙袋，再从乙袋中取一个球，求： （ 1）从乙袋中取出的球是白球的概率； 【答疑编号： 10010505针对该题提问】 （ 2）如果从乙袋中取出的球 是白球，则这时从甲袋中取出白球的概率是多少。 从甲袋中取出红球的概率是多少。 【答疑编号： 10010506针对该题提问】 解：用 B表示从乙袋中取出白球； A表示从甲袋中取出白球，所以 表示从甲袋中取出红球。 已知 （ 1） （ 2） 可见从甲袋中取出白球的可能性大。 例 8，已知 ， 求（ 1） P（ AB）； 【答疑编号： 10010507针对该题提问】 （ 2） 【答疑编号： 10010508针对该题提问】 解：（ 1） （ 2） 例 9，若 ； 求（ 1） P（ B）； 【答疑编号： 10010509针对该题提问】 （ 2） P（ A+B） 【答疑编号： 10010510针对该题提问】 解：（ 1） （ 2） （ 3） 例 10，已知 ；求 【答疑编号： 10010511针对该题提问】 解：（ 1） （ 2） （ 3） 167。 事件的独立性。