概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案[统计学经典理论

概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案[统计学经典理论内容摘要：

数为 λ =(小时 )指数分布 ,求在机器出现故障时 ,在一小时内可以修好的概率 . 解 : P*X≤ 1+ = F(1) = 1−e。 8. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计 )服从参数为 λ =15的指数分布 ,某顾客在窗口等待服务 ,若超过 10分钟 ,他就离开 .他一个月要到银行 5次 ,以 Y表示他未等到服务而离开窗口的次数 .写出 Y的分布律 ,并求 P*Y ≥ 1+. 解 : “未等到服务而离开的概率 ”为 P*X≥ 10+ = 1−F(10) = 1−.1−e。 15∗10/ = e。 2 P*Y= 𝑘+ = C5k(e。 2)k(1−e。 2)5。 k,(k = 0,1,2,3,4,5) Y的分布律 : Y 0 1 2 3 4 5 P P*Y≥ 1+ = 1−P*Y = 0+ = 1− = 9. 设 X ~ N(3, 22),求 : (1) P*2 𝑋 ≤ 5+,P*−4 𝑋 ≤ 10+,P*|X| 2+,P*X 3+。 (2) 常数 c,使 P*X 𝑐+ = P*X≤ c+. 解 : (1) P*2 𝑋 ≤ 5+ =。 32 /−。 32 /= Φ(1)−01−−(1−) = P*−4 𝑋 ≤ 10+ = Φ(10−32 )−Φ(−4−32 ) = Φ()−,1−Φ() = −= P*|X| 2+ = 1−P*−2≤ 𝑋 ≤ 2+ = 1−。 32 /−Φ.。 2。 32 /1 = 1−( −) = P*X 3+ = P*X ≥ 3+ = 1−。 32 /= 1−Φ(0) = 1−= (2) P*X 𝑐+ = P*X ≤ c+ P*X 𝑐+ = 1−P*X ≥ c+ P*X 𝑐++P*X≥ c+= 1 Φ(c−32 )+Φ(c−32 ) = 1 Φ(c−32 ) = 经查表 c。 32 = 0,即 C=3 10. 设 X ~ N(0,1),设 x满足 P*|X| 𝑥+ x 的取值范围 . 解 : P*|X| 𝑥+ 2,1−Φ(x) −Φ(x) −1920 Φ(x) ≥ 1920 Φ(x) ≥ 经查表当 x ≥ Φ(x) ≥ 即 x ≥ P*|X| 𝑥+ 11. X ~ N(10, 22),求 : (1) P*7 𝑋 ≤ 15+。 (2) 常数 d,使 P*|X−10| 𝑑+ . 解 : (1) P*7 𝑋 ≤ 15+ =。 102 /−。 102 /= Φ()−,1−Φ() = − = (2) P*|X−10| 𝑑+ = P*10−d 𝑋 10 +𝑑+ = Φ(10 +𝑑 −102 )−Φ(10−d−102 ) = Φ(𝑑2) 经查表 𝑑2 = ,即 d= 12. 某机器生产的螺栓长度 X(单位 :cm)服从正态分布 N(, ),规定长度在范围177。 ,求一螺栓不合格的概率 . 解 : 螺栓合格的概率为 : P*− 𝑋 ++ = P* 𝑋 + = Φ(− )−Φ(− ) = Φ(2) −,1−Φ(2) = ∗ 2−1 = 螺栓不合格的概率为 = 13. 测量距离时产生的随机误差 X(单位 :m)服从正态分布 N(20, 402).进行 3次独立测量 .求 : (1) 至少有一次误差绝对值不超过 30m的概率。 (2) 只有一次误差绝对值不超过 30m的概率 . 解 : (1) 绝对值不超过 30m的概率为 : P*−30 𝑋 30+ = Φ(30−2040 )−Φ(−30−2040 ) = Φ()−,1−Φ()= 至少有一次误差绝对值不超过 30m的概率为 : 1− C30()0(1−)3 = 1− = (2) 只有一次误差绝对值不超过 30m的概率为 : C31()1(1−)2 = 习题 1. 设 X的分布律为 X 2 0 2 3 P 求 (1)Y1 = −2X +1的分布律。 (2)Y2 = |X|的分布律 . 解 : (1) Y1的可能取值为 5,1,3,5. 由于 P*Y1 = 5+ = P*−2X+1 = 5+ = P*X= −2+ = P*Y1 = 1+ = P*−2X+1 = 1+ = P*X= −2+ = P*Y1 = −3+ = P*−2X+1 = −3+ = P*X = 2+ = P*Y1 = −5+ = P*−2X+1 = −5+ = P*X = 3+ = 从而 Y1的分布律为 : X 5 3 1 5 Y1 (2) Y2的可能取值为 0,2,3. 由于 P*Y2 = 0+ = P*|X| = 0+ = P*X = 0+ = P*Y2 = 2+ = P*|X| = 0+ = P*X = −2++P*X= 2+ = + = P*Y2 = 3+ = P*|X| = 3+ = P*X = 3+ = 从而 Y2的分布律为 : X 0 2 3 Y2 2. 设 X的分布律为 X 1 0 1 2 P 求 Y = (X−1)2的分布律 . 解 :Y的可能取值为 0,1,4. 由于 P*Y= 0+ = P*(X−1)2 = 0+ = P*X= 1+ = P*Y= 1+ = P*(X−1)2 = 1+ = P*X= 0+ +P*X = 2+ = P*Y= 4+ = P*(X−1)2 = 4+ = P*X= −1+ = 从而 Y的分布律为 : X 0 1 4 Y 3. X~U(0,1),求以下 Y的概率密度 : (1) Y = −2lnX。 (2)Y = 3X+1。 (3)Y = ex. 解 : (1) Y = g(x) = −2lnX, 值域為 (0,+∞),X = h(y) = e。 Y2, h′(y) = 12 e。 Y2 fY(y)= fx(h(y))| h′(y)| = 1∗ 12 e。 Y2 =12 e。 Y2. 即 fY(y) = {12 e。 Y2, y 0,0, y ≤ 0 (2) Y = g(x) = 3X+1,值域為 (−∞,+∞),X = h(y) = Y。 13 , h′(y) = 13 fY(y) = fx(h(y))| h′(y)| = 1∗ 13 = 13 即 fY(y) = {13 , 1 𝑦 4,0, 其他 注 : 由 X~U(0,1), Y = 3X+1,当 X=0时 ,Y=3*0+1=1。 ,当 X=1时 ,Y=3*1+1=4 (3) Y = g(x) = ex,X = h(y) = lny, h′(y) = 1y fY(y) = fx(h(y))| h′(y)| = 1∗ 1y = 1y 即 fY(y) = {1y , 0 𝑦 e,0,。