基于lms算法的多麦克风降噪设计任务书(编辑修改稿)

基于lms算法的多麦克风降噪设计任务书(编辑修改稿)内容摘要：

)}W + WT E{X(k)XT (k)}W （式 315） 定义互相关函数行向量 RTxd ： RTxd = E{d(k)XT (k)} （式 316） 和自相关函数矩阵 RXX = E{X(k)XT (k)} （式 317） 则均方误差（ 315）式可表述为 E{ε2 (k)}=E{d2 (k)}2RTxd W+ WT RXX W （式 318） 这表明，均方误差是权系数向量 W的二次函数，它是一个中间向上凹的抛物形曲面，是具有唯一最小值的函数。 调节权系数使均方误差为最小，相当于沿抛物形曲面下降找最小值。 可以用梯度来求该最小值。 将式（ 318）对权系数 W求 导数，得到均方误差函数的梯度  (k)=2Rxd +2RXX W (式 319) 令  (k)=0，即可求出最佳权系数向量 Wopt = R 1XX Rxd （式 3110） 它恰好是研究 Wiener 滤波器遇到过的 Wiener Hopf 方程。 因此，最佳权系数向量通常也叫作 Wiener 权系数向量。 将 Wopt 代入式（ 318）得最小均方误差 E{ε2 (k)} min =E{d2 (k)}RTxd Wopt （式 3111） 利用式（ 3110）求最佳权系数向量的精确解需要知道 RXX 和 Rxd 的先验统计知识，而且还需要进行矩阵求逆等运算。 Widrow and Hoff (1960)提出了一种在这些先验统计知识未知时求 Wopt 的近似值的方法，习惯上称为 Widrow and Hoff LMS 算法。 这种算法的根据是最武汉理工大学《信息处理课群综合训练》课程设计任务书 9 优化方法中的最速下降法。 根据最速下降法， “下一时刻 ”权系数向量 W(k+1)应该等于 “现时刻 ”权系数向量 W(k)加上一个负均方误差梯度 − (k)的比例项，即 W(k+1)=W(k) μ (k) （式 3112） 式中， μ是一个控制收敛速度与稳定性的常数，称之为收敛因子。 不难看出， LMS 算法有两个关键：梯度  (k)的计算以及收敛因子 μ的选择。 （一）  (k)的近似计算 精确计算梯度  (k)是十分困难的，一种粗略的但是却十分有效的计算  (k)的近似方法是：直接取 ε2 (k)作为均方误差 E{ε2 (k)}的估计值，即 ^ (k)= [ε2 (k)]=2ε(k) [ε(k)] （式 3113） 得到梯度估值 ^ (k)=2ε(k)X(k) 于是， Widrow – Hoff LMS 算法最终为 W(k+1)=W(k)+ 2με(k)X(k) (式 3114） 式（ 3114）的实现方框图如图 32 所示 图 32 LMS算法的实现方框图 下面分析梯度估值 ^ (k)的无偏性。 ^ (k)的数学期望为 （式 3115） 在上 面的推导过程中，利用了 d(k)和 ε(k)二者皆为标量的事实。 在得到最后的结果时，利用了式（ 319）。 式（ 3115）表明，梯度估值 ^ (k)是无偏估 （二） μ的选择 对权系数向量更新公式（ 3114）两边取数学期望，得 E{W(k+1)}=E{W(k)}+ 2μE{ε(k)X(k)} =(I2μRXX )E{W(k)}+ 2μRxd （式 3116） 武汉理工大学《信息处理课群综合训练》课程设计任务书 10 式中， I 为单位矩阵， Rxd = E{d(k)X(k)}和 RXX = E{X(k)XT (k)}。 当时， k=0 时， E{W(1)}=(I2μRXX )E{W(0)}+ 2μRxd 对于 k=1，利用上式结果，则有 E{W(2)}=(I2μRXX )E{W(1)}+ 2μRxd (I2μRXX )2 E{W(0)}+ 2μ10i(I2μRXX )i Rxd 起始时， E{W(0)}=W(0) 故重复以上迭代至 k+1，则有 E{W(k+1)}= (I2μRXX ) 1k W(0)+ 2μki0(I2μRXX )i Rxd （式 3117) 由于 RXX 是实值的对称阵，我们可以写出 其特征值分解式 RXX =QΣQT =QΣQ1 （式 3118） 这里，我们利用了正定阵 Q 的性质 QT =Q 1 ，且 Σ=diag(λ1 ,…λ M )是对角阵，其对角元 素 λi是 RXX 的特征值。 将式（ 3118）代入式（ 3119）后得 E{W(k+1)}= (I2μQΣQ1 ) 1k W+ 2μki0(I2μQΣQ1 )i Rxd （式 3119） 注意到以 下恒等式及关系式： （ 1） (I2μQΣQ1 )i =Q(I2μΣ)i Q1 （ 2） limk ki0(I2μQΣQ1 )i =0iQ[(2μΣ) 1 ]Q1 （ 3） 假定所有的对角元素的值均小于 1（这可以通过适当选择 μ实现），则 limk (I2μΣ) 1k =0 （ 4） R 1XX = QΣ1 Q1 将上式代入式（ 8119），结果有 E{W(k+1)}= QΣ1 Q1 Rxd = R 1XX Rxd = Wopt （式 3120） 由此可见，当迭代次数无限增加时，权系数向量的数学期望值可收敛至 Wiener 解，其条件是对角阵 (I2μΣ)的所有对角元素均小于 1，即 0μ max1 (式 3121) 武汉理工大学《信息处理课群综合训练》课程设计任务书 11 其中 λmax是 R XX 的最大特征值。 μ称为收敛因子，它决定达到式（ 3120）的速率。 事实上， W(k)收敛于 Wopt 由比值 d =λmax/λmin决定，该比值叫做谱动态范围。 大的 d 值喻示要花费很长的时间才会收敛到最佳权值。 克服这一困难的方法之一是产生正交数据。 基本 LMS 自适应算法如下： 初始化： W(0)=0。 R(0)=I。 选择 μ： 0μ max1 For k=1 to n final do:W(k)=W(k1)+2μ[x(k)WT (k1)X(k)]X(k) LMS 自适应滤波器如图 33 所示 : 图 33 LMS自适应滤波器 自适应噪声抵消原理 自适应噪声抵消的目的是要去除主信号中的背景噪声。 主信号由有用信号和背景噪声组成，而背景噪声与参考信号中的噪声相关。 因此，自适应噪声抵 消技术主要依赖于从主信号和噪声中获取参考信号。 Widrow 和 Hoff 发展了最小均方误差（ LMS）自适应算法和称为自适应线性阈值逻辑单元（ ADALINE）的模式识别方法。 1965 年，基于最小均方误差准则 (LMS)的自适应噪声武汉理工大学《信息处理课群综合训练》课程设计任务书 12 抵消首次得以实现，随后，自适应噪声抵消在信号处理、地震和生物医学领域均获得成功应用。 基于维纳理论的自适应噪声抵消需要无限加权滤波器，以极小化输出误差。 为了实现维纳滤波方案，必须使用有限加权滤波器。 换句话说，自适应滤波器必须假定维纳滤波器是一个有限冲激响应（ FIR）滤波器。 图 34 自适应噪声抵消原理方框图 如图 34（ a）所示是基于维纳滤波器的自适应噪声抵消原理方框图。 主信号由有用信号 x(n)和背景噪声 v(n)构成，其中 s(n)和 v(n)不相关。 参考信号 r(n)可与 s(n)或 v(n)相关。 ^v (n)是背景噪声的最佳估计。 ^v (n)可以通过选择最佳 FIR 维纳滤波器的最佳加权 w (n)计算得出，即 ^v (n)= Mi0mw (n)r(nm) 0≤m≤M (式 321) 其中， M 表示滤波器的阶； r(nm)由延时获得。 具有 M 个权重滤波器的估计误差 e(n)由下式定义： e(n)=x(n)^v (n)=x(n) w T (n)r (n) （ 式 322） 由正交原理有 ， e(n)和 r(n)正交。 对式（ 3–2 2）两边取平方和数学期望，可得 E[e(n)2 ]= E[x(n)2 ]2PT w + w T Rw （ 式 323） 武汉理工大学《信息处理课群综合训练》课程设计任务书 13 其中，输入信号 s(n)和参考矢量 r (n)之间的互相关用 P 表示，即 P =E[x(n)r (n)T ] （式 824） R 表示输入自相关矩阵，即 R=[r (n)r (n)T ] （式 325） 令均方估计误差函数的梯度等于 0，可得最佳 FIR 滤波器（维纳滤波器）权重如下， w =R 1 P （式 326） 实际上，通常 P 和 R 的统计量是未知的。 然。