[考研数学]线性代数经管类综合测验题库

[考研数学]线性代数经管类综合测验题库内容摘要：

中第三行第二列元素的代数余子式的值为（ ） 则 D1的值为（ ） A为三阶方阵且 （ ） A是 n 阶方阵， λ为实数，下列各式成立的是（ ） . A为 3 阶方阵，且已知 （ ） （ ） ,其中 为常数 . （ ） +1 （ ） （ ） 都是三阶方阵，且 ，则下式（ ）必成立 . （ ） 0 的矩阵是零矩阵 D. （ ） （ ） （ ） =( )。 A.（ x+3a）（ xa） 3 B.（ x+3a）（ xa） 2 C.（ x+3a） 2（ xa） 2 D.（ x+3a） 3（ xa） D 如果按照第 n 列展 开是（ ）。 +a2nA2n+...+annAnn +a21A21+...+an1An1 +a12A21+...+a1nAn1 +a21A12+...+an1A1n n 个方程的 n 元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是（）。 0，则方程组必有无穷多解 0，则方程组只有零解 0，则方程组必有惟一解 0，则方程组必有零解 =（ ）。 ≠（ ）时，方程组 只有零解。 =（ ）。 =（ ）。 D 中的第二列元素依次为 1， 2， 3，它们的余子式分别为 1， 1， 2， D 的值为（ ） 中元素 g的代数余子式的值为（ ）。 （ ）。 阶行列式（ ）等于 1。 a=( )时，行列式 的值为零。 的值等于（ ）。 的充要条件是（ ） ≠2 ≠0 ≠2或 a≠0 ≠2且 a≠0 140. 计算： 综合测验题库答案与解析 一、单项选择题 1. 正确答案： B 答案解析： A1正定表明存在可逆矩阵 C 使 CTA1C=In，两边求逆得到 C1A（ CT） 1= C1A（ C 1） T=In 即 A合同于 In， A正定，因此不应选 A。 C 是 A正定的定义，也不是正确的选择。 D 表明 A的正惯性指数等于 n，故 A是正定阵，于是只能 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。 2. 正确答案： C 答案解析：二次型的矩阵 所以 r（ A） =1，故选项 C 正确，选项 A， B， D 都不正确。 3. 正确答案： D 答案解析：因为 f 是正定二次型， A是 n 阶正定阵， 所以 A的 n 个特征值 λ1， λ2， … ， λn都大于零， |A|＞ 0，设 AP j=λjPj，则 A1Pj= Pj， A1的 n 个特征值 ， j=1,2,…,n ，必都大于零， 这说明 A1为正定阵， XTA1X 为正定二定型，同理， XTB1X 为正定二次型， 对任意 n 维非零列向量 X 都有 XT（ A+B） X=XTAX+XTBX＞ 0。 这说明 XT（ A+B） X 为正定二次型， 由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 XTABX 未必为正定二次型。 4. 正确答案： D 答案解析： ∵ A、 B 正定 ∴ 对任何元素不全为 零的向量 X 永远有 XTAX＞ 0；同时 XTBX＞ 0。 因此 A+B 正定， AB 不一定正定，甚至 AB 可能不是对称阵。 5. 正确答案： A 答案解析： f=xTAx=（ Py） TA（ Py） = y T （ PTAP） y= y TBy，即 B=PTAP，所以矩阵 A与 B 一定合同。 只有当 P 是正交矩阵时，由于 PT=P1，所以 A与 B 即相似又合同。 6. 正确答案： C 答案解析： A的正惯性指数为 t，负惯性指数为 rt，因此符号差等于 2tr。 7. 正确答案： C 答案解析：主对角线元素对应 x1， x2， x3平方项系数： 1， 1， 1。 a13和 a31系数的和对应 x1x3的系数 2 8. 正确答案： C 答案解析： x1， x2， x3平方项系数对应主对角线元素： 1， 0， 4。 x1x2系数 2，对应 a12和 a21 系数的和， a12=1,a21=1。 9. 正确答案： D 答案解析： ∵ C 是正交阵，所以 CT=C1,B= C1AC，因此 A与 B 相似， A对。 C 是正交阵 |C|不等于 0， CTAC 相当对 A实行若干次初等行变换和初等列变换， A与 B 等价， B 对。 两个相似矩阵 A、 B 有相同的特征值， C 对。 （ λEA） X=0, （ λEB） X=0 是两个不同的齐次线性 方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有 D 不对，选 D。 10. 正确答案： B 答案解析：属于同一特征值的特征向量未必线性相关，比如单位阵的特征值全是 1，但它有 n 个线性无关的特征向量，因此应选择 B。 11. 正确答案： C 答案解析： C 是对称阵，必相似于对角阵，故选 C。 12. 正确答案： A 答案解析： |A|=52x， A有零特征值，得 |A|=0，故 x=，显然应选 A。 13. 正确答案： B 答案解析： ∵ 3 阶矩阵 A的特征值为 1,2,3 ∴ |λE A | 展开式含有三 个因子乘积：（ λ1）（ λ2）（ λ3） ∵ |λE A | 展开式 λ3项系数为 1 ∴ |λE A |=（ λ1）（ λ2）（ λ3） ∵ A为 3 阶矩阵 ∴ | AλE |=（ 1） 3|λE A |=（ 1） 3 （ λ1）（ λ2）（ λ3） 将 4 代入上式得到 6。 14. 正确答案： A 答案解析：设 A的特征值是 λ，则 f（ A）的特征值就是 f（ λ），把 1,0,1 依次代入，得到 3， 1， 1。 15. 正确答案： A 答案解析：属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择 A。 16. 正确答案： D 答案 解析： ∵ 设 P1AP=B ∴ A=PBP1 又 ∵ Aα=λ0α ∴ PBP1α=λ0α ∴ B（ P1α） = λ0(P1α) 17. 正确答案： D 答案解析： A的特征向量不能是零向量，所以 k k2不同时为零，所以 A、 C 不对； x x2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解，所以 A 的特征向量不选 B。 选 D 是因为k2=0， k1≠0， x= k1 x1仍然是 A的特征向量。 18. 正确答案： A 答案解析： 得到特征值是 1，。