14hermite插值

14hermite插值内容摘要：

hnology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例： 在 [5, 5]上考察 的 Ln(x)。 取 211)(xxf + ),...,0(105 niinx i + 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 n 越大， 端点附近抖动 越大 Ln(x)  f (x)  是否次数越高越好呢。 11 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 分段插值 Runge现象 例： ]1,1[ 251 1)( 2 + xxxf等距节点构造 10次 Lagrange插值多项式 )(10 xLx)()(10 xLxf Runge1901年发现，剧烈震荡现象 等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。 12 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 分段线性插值 每个小区间上，作线性插值 ],[),()()( 11111+++++ +iiiiiiiiiii xxxxfxxxxxfxxxxxs ],[,)()( 1+ iiin xxxxSxp(1) ],[)( baCxpn (2) )(xpn在每个小区间上为一个不高于 1次的多项式 特性 13 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 误差 ],[ 1+ ii xxx2121)2(22M ))((!2)()()( ++iiiinxxxxxxfxpxf22212822M)()( hMxxM a xxpxf iinn  +可以看出 + nxfxpn ),()(14 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 收敛，可惜只一阶精度，不够光滑。 类似，可以作二重密切 Hermite插值 关键： 分段、低阶插值 15 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 三次样条插值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。 在工业设计中， 对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值，次数不高于 3次，整个曲线 2阶连续导 数，称为三次样条函数插值。 16 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 则每个小区间不高于 3次的多项式 ],[,)( 123 ++++ iiiiiii xxxdxcxbxaxS 1,0  ni 有 4n个未知数，我们的已知条件如下： ( 0) ( 0)39。 ( 0) 39。 ( 0)39。 39。 ( 0) 39。 39。 ( 0)( ) ( )iiiiiiiiS x S xS x S xS x S xS x f x  +  +  +1,1  ni。