代数插值基础介绍拉格朗日插值公式拉格朗日插值的误差分析

代数插值基础介绍拉格朗日插值公式拉格朗日插值的误差分析内容摘要：

次数，当n分别取 2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形 . 例 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象 (龙格 ) 17 00111010)( yxxxxyxxxxxL两点线性插值 插值余项 (误差 ): R(x) = f(x) – L(x) 由插值条件 ,知 R(x)=C(x) (x – x0)(x – x1) 即 f(x) –L(x) = C(x) (x – x0)(x – x1) C(x) = ??? 拉格朗日插值的误差分析 18 a≤x0＜ x1＜ ＜ xn≤b 则对任何 x∈ [a , b], 满足 Ln(xk) = f(xk) 的 n 次 插值多项式 Ln(x) 的误差 )()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnn  )())(()( 101 nn xxxxxxx  其中 , ),( ban 且与 x有关 定理 设 f(x)∈ C[a, b], 且 f (x) 在 (a, b)内具有 n+1阶导数 , 取插值结点 19 证明 : 记 n+1(x) =(x – x0)(x – x1)(x – xn) f(x) – Ln(x)= C(x) n+1(x) 取定 x∈ (a, b), 设 t∈ ( a, b )且 t≠x. 构造函数 )()()()()( 1 txCtLtftF nn  显然 , F(x) = 0, F(xj) = 0, ( j = 0,1,,n ) 由插值条件 Ln(xk) = f(xk) (k = 0,1,…, n) 知存在 C(x)使得 20 F(t) 有 (n+2)个相异零点 . 根据 Rolle定理 , F’ (t)在区间 (a, b)内至少有 (n +1)个相异零点 . 0)!1)(()()1(  nxCf n )!1()()( )1(nfxC n  )()!1()()()(1)1(xnfxLxf nnn   依此类推 ,F ( n+ 1 )(t) 在区间 ( a, b ) 内至少有一个零点。 故存在  ∈ (a, b), 使 F(n+1)( )=0 )()()()()( )1( 1)1()1()1( txCtLtftF nnnnnn     21 例 设 y = f(x) 在区间 [a, b]上有连续 ,且 f (x) 在 (a, b)内具有 2阶导数 ,已知 f (x)在区间端点处的值 .如果当 x∈ (a, b)时 ,有 |f ’’ (x)|≤M. 试证明 21 )(8|)(| abMxR 证明 由 Lagrange插值误差定理 ))((2 )()()()( 11 bxaxfxLxfxR  令 h(x) = |( x – a )( x – b )| 4)()2()(m ax2abbahxhbxa21 )(8|)(| abMxR 22 应用 : 考虑制做 sin x 在 [0, ]上等距结点的函数表 ,要求用线性插值计算非表格点数据时 ,能准确到小数后两位 ,问函数表中自变量数据的步长 h应取多少为好。 解 ： 设应取的步长为 h , 则 xj = jh ( j = 0,1,,n). 当 x∈ (xj , xj+1)时 88)(|)(|m ax|)(|2211hxxxfxR jjxxx jj  ]s i n)(s i n)[(1s i n 11 jjjj xxxxxxhx  2210218 h  h ≤ 只须 )())(()()())(()()()()()()( 1101101100nkk。