非标准分析——经典数学的一种延伸

非标准分析——经典数学的一种延伸内容摘要：

NnRRxRRxxxxxRR，例如记为为无穷小，则称均有如果对每个设为负无穷大。 则称成立如果对每个为正无穷大，例如则称成立如果对每个设）定义（无穷大和无穷小。 ，简记为，例如们简化一些记号，产生误解的情况下，我为叙述的简便，在不至为非标准自然数。 称为非标准实数，中的元素，称和为了区分如果如果定义定义。 中的元素引进绝对值的，可以对线性有序化鉴于上的等价关系。 为和∽容易验证，不是有限接近的。 与彼此有限接近，而，为超自然数，则例如，）（）是指的星系（有限接近，并记作和是有限数，则称如果∽）是指的单子（∽无限小接近，并记作和，则称∽如果设定义RnnyxRyxGxyxyxyxyxRyxmxyxyxyxRyx*/3}|*{g a l a x y.}|*{)(m o n a d.0*,。 便不是上确界了，矛盾的一个上界限，但是则另一方面，如果矛盾。 由无穷小定义易见上确界，设的是。 若不然，设有上界，但没有上确界事实上，确乎没有边界。 成的集合，作为全体正负无穷小所被模糊的云雾所围绕。 即称为的哲学名词，在法语里）是单子（aaamamamaamamammx,2/)0(2/),0(),0(2),0()0()0()0(,h a l ol e i b n i zm o n a d不是相等，便是相交。 任意两个单子推论则且），设我们只证（无穷小。 积仍是，无穷小与有限数的乘的一个理想，这就是说是）（的一个子环。 是）全体无穷小集（绩仍是有限数。 有限数的和、差以及成说，的一个序子环，也就是）是（的集）全体有限超实数所成（定理)(),(4r|st|r,|ts|r|ts|r / 2 ,|t|r / 2 ,|s|,),0(,1)0()0(3*)0(2*012ymxmRrGtsGmRmRG亦导致同样的矛盾。 时，＜同样，当）的实数一定小于决定矛盾（小于由这与＞时，当。 ，满足存在为无穷小，若不然，便即证∽可证分割决定了唯一的中的一个作为则是有限的，命证：设和。 准实数与一个无穷小之可唯一地表示为一个标均因此，每个有限超实数∽便是也就是说，不是无限接近于唯一的一个每个有限超实数有限超实数基本定理,2,r/ 2 ,rxrx||R||,x}rR,r|{rx } ,rR,r|{r*,212122221111xrrrxrxDDrxrxrxRrDe d e k i n dRDDDDRxrxrxRrx)()()()()()()()()()()(0,00,)(*ystxstyxystxstyxstystxstxystystxstyxstGyxRGstRGrxstxrxrRx时，当），（的保序环同态，即对于）到（是标准部分映射定理叫做标准部分映射。 ）（映射记作的标准部分，为的唯一标准实数∽为有限数，称满足设非标准模型 • NSA的应用应竟可能涵盖经典数学的所有研究对象，而经典数学的定义都是用的集合论语言。 所以我们先引入足以包括经典数学所有研究对象的标准结构 —— 超结构。 • 从超结构出发，用纯粹的集合论方法构造其对应的超幂型非标准模型，则得到的非标准模型涵盖经典数学。 从而可将经典数学置于 NSA体系下研究。 xyXVyXxXVXnnXVXVXVXXVXVXVXXVXVXVPXVXVXXVXVREXEnnNnnnnnn),(,)(.)1)(()()()()()()()())(()()()()(,1010则对所有”，即如果的个体是所谓的“原子即中的元素外我们约定，不需要高阶量词了，此这样定义论域，我们就中的实体具有秩称的个体，的实体也叫做的实体，的元素叫做上的超结构称为如下：归纳定义累积幂集并假定本点集），度空间或拓扑空间的基为任一非空集（比如测命定义（超结构）超结构的某些性质 • ∅为实体 • 每个 Vn(X)为实体 • 实体的元素为实体 • 实体的子集为实体 • 实体的幂集为实体 • V(X)的有限子集为实体 • 实体的有序 n元组及 Cartesian积为实体 •。