线性分组码的生成矩阵54线性分组码的编码55线性分组码

线性分组码的生成矩阵54线性分组码的编码55线性分组码内容摘要：

Hr nGTn k=0Tr k 或 Gk nHTn r=0k r  线性系统码的监督矩阵 H 和生成矩阵 G 之间可以直接互换。 线性分组码的生成矩阵          )(I)Q(HQIGP)Q()P(Q0Q)P(I)P(QIIPQIHGIPHQIGrTrkSrkkSkrTrkTkrrkrkrkTkrrTkrrkkTrkrrkkTSSrkrSrkkS或所以，20  举例 已知 (7,4)线性系统码的监督矩阵为 线性分组码的生成矩阵 1101000011010011100101010001100101101011100010111)4,7()4,7(GH阵可直接写出它的生成矩21 (5) 对偶码  对偶码 ： 对一个 (n,k)线性码 CI，由于 Hr nGTn k=0Tr k，如果以G 作监督矩阵，而以 H 作生成矩阵，可构造另一个码 CId，码 CId是一个 (n,n－ k)线性码，称码 CId为原码的对偶码。  例如 ： (7,4)线性码的对偶码是 (7,3)码：  (7,3)码的监督矩阵 H(7,3)是 (7,4)码生成矩阵 G(7,4) 线性分组码的生成矩阵  10001100100011001011100011011101000011010011100101010001)4,7()3,7(化成标准形式GH22  (7,3) 码的生成矩阵 G(7,3) 是 (7,4) 码监督矩阵 H(7,4) 线性分组码的生成矩阵  101110011100100111001100101101011100010111)4,7()3,7(化成标准形式HG23  (n,k) 线性码的编码就是根据线性码的监督矩阵或生成矩阵 将长为 k 的信息组变换成长为 n(nk) 的码字。  利用监督矩阵构造 (7,3) 线性分组码的编码电路：  设码字矢量为 C=(C6 C5C4C3C2C1C0)  码的监督矩阵为 线性分组码的编码 4505614562463)3,7(1000110010001100101110001101CCCCCCCCCCCCCTT得由 0HCH24  根据方程组可直接画出 (7,3) 码的并行编码电路行串行编码电路，如图。 线性分组码的编码 m0m1m2 C6C5C4C3C2C1C0mC( a )并行编码电路 （ b ）串行编码电路图 ( 7,3) 线性系统编码电路25 (1) 汉明距离、汉明重量和汉明球  汉明距离 /距离 ：在 (n,k)线性码中，两个码字 U、 V 之间对应码元位上符号取值不同的个数，称为码字 U、 V 之间的汉明距离。  例如 ： (7,3) 码的两个码字 U=0011101,V=0100111，它们之间第 4和 6位不同。 因此，码字 U 和 V 的距离为 4。  线性分组码的一个码字对应于 n 维线性空间中的一点，码字间的距离即为空间中两 对应点的距离。 因此，码字间的距离满足一般距离公理：  10)(),( niii vud VU 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力 三角不等式③对称性②非负性①),(),(),(),(),(0),(WUWVVUUVVUVUdddddd26  最小距离 /dmin：在 (n,k) 线性码的码字 集合中 ，任意两个码字间距离最小值，叫做码的最小距离。 若 C(i)和 C(j) 是任意两个码字，则码的最小距离表示为  码的最小距离是衡量码的抗干扰能力（检、纠错能力）的重要参数。 码的最小距离越大，码的抗干扰能力就越强。  汉明球 ：以码字 C为中心，半径为 t 的汉明球是与 C 的汉明距离 ≤ t 的向量全体 SC(t) 任意两个汉明球不相交最大程度取决于任意两个码字之间的最小汉明距离 dmin。   12,1,0,),(m i n )()(m i n   kjiji jidd CC 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力  tdt  ),()( RCRS C27 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力 tV Udm i n图 6 . 2 . 3 dm i n= 5 ,码 距 和 纠 错 能 力 关 系 示 意 图28  汉明重量 /码字重量 /W：码字中非 0码元符号的个数，称为该码字的汉明重量。  在二元线性码中，码字重量就是码字中含“ 1”的个数。  最小重量 /Wmin ：线性分组码 CI中，非 0码字重量最小值，叫做码 CI的最小重量： Wmin =min{W(V),V∈ CI ,V≠0}  最小距离 与 最小重量 的关系 ： 线性分组码的最小距离等于它的最小重量。 [证明 ]： 设线性码 CI，且 U∈ CI, V∈ CI，又设 U－ V=Z，由线性码的封闭性知， Z∈ CI。 因此， d(U,V)=W(Z)，由此可推知，线性分组码的最小距离必等于非 0码字的最小重量。 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力 29 (2) 最小距离与检、纠错能。