第四节定积分的应用举例

第四节定积分的应用举例内容摘要：

线围成 , ( ) ( )f x g x 如图 614，则其面积可对 x积分得到  ( ) ( )baA f x g x d x一般的，若平面图形是由曲线 O x 图 614 y a b y f x ()()y g x三、体积 旋转体体积 由连续曲线 及 x轴围成的曲边梯形，绕 x 轴旋转而成的旋转体，如图 615所示，现在讨论它的体积 V的计算 方法。 用垂直于 x轴的平面截旋转体，所得截面都是圆，其面积为。 现在我们用垂直于 x轴的平行平面，把旋转体分割成 n个小旋转 体，即选择 x为积分变量，积分区间为 .考虑小区间 上小旋转体的体积 ，用以半径为 的圆为底，高为 的圆 ( ) ,y f x x a x b  与 直 线2 半 径 ,ab  ,x x dxV ()fx dx柱体体积 作为近似，即得体积微元  2()fx  2()d V f x d x于是，旋转体的体积为   2( ) .baV f x d x a b O x 图 615 y ()y f xx 图 616 (b) y x O x x+dx 2yx(a) 2 10y x x yxy   设 平 面 图 形 由 曲 线 与 直 线 及 围 成 ， 是 求 ： （ 1 ） 绕 轴 旋 转 而 成 的 旋 转 体 体 积 ； （ 2 ） 绕 轴 旋 转 而 成 的 旋 转例 4体 体 积 ； 解 （ 1）取 x为积分变量，积分区间为 ，对应于小区间 的小旋转体体积为 ，用小矩形（如图 616（ a）中阴影 部分），绕 x轴旋转而成的小圆柱体（如图 616（ b）体积作为近 似，即得体积微元  0,1 ,x x dx V22()d V x d x于是，绕轴旋转而成的旋转体体积为 1112 2 4 200011()55xV x d x x d x x       （ 2） 取 y为积分变量，积分区间为 ，对应于小区 间 的小旋转体体积为 ，用图 617（ a）中阴影部分绕 y轴旋转（如图 617（ b）中所示）所得的空心圆柱体体积作为近 似，而空心圆柱体体积等于以 dy为高、半径为 1的圆柱体体积减 半径为 的圆柱体体积，即得体积微元为  0,1 ,y y dy Vy221 ( ) ( 1 )d V d y x d y y d y       于是，绕轴旋转的旋转体体积为 1120 012( 1 ) )23yV y d y y y      2．平行截面面积为已知的立体体积 对于一般的空间立体，如果它与某一轴线（如 x轴） x相垂直的平 面的截面面积 是一已知的连续函数，如图 618， 那么，根据元素，可取体积微元为 ( )(A x a )xb( ) ,d V A x d x于是，空间立体的体积为 ()baV A x dx 图 618。