第五节空间图形的平行关系

第五节空间图形的平行关系内容摘要：

S △ABC EG ＝13 2 22＝13. 考点二 线面平行的性质的应用 【 例 2】 如图， ABCD是空间四边形， E， F， G， H分别是四边上的点，它们共面，并且 AC∥ 平面 EFGH， BD∥ 平面EFGH， AC＝ m， BD＝ n，当 EFGH是菱形时， AE∶ EB＝________. 解析： 设 AE ＝ a ， EB ＝ b ， ∵ AC ∥ 平面 E F GH ，平面 E F GH ∩平面 ABC ＝ EF ， AC ⊂ 平面 ABC ， ∴ EF ∥ AC ，于是可得EFAC＝BEBA，即EFm＝ba ＋ b， ∴ EF ＝bma ＋ b. 同理 EH ＝ana ＋ b. ∵ EF ＝ EH ， ∴bma ＋ b＝ana ＋ b，于是ab＝mn. 答案：mn 变式探究 2．如图，四面体 ABCD被一平面所截，截面 EFGH是一个矩形． (1)求证： CD∥ 平面 EFGH； (2)求异面直线 AB， CD所成的角； (3)若 AB＝ a， CD＝ b，求截面 EFGH面积的最大值． 证明 ： (1) ∵ 截面 EF GH 是一个矩形， ∴ EF ∥ GH ，又 GH ⊂ 平面 BCD . ∴ EF ∥ 面 BCD ，而 EF ⊂ 平面 A CD ， 平面 ACD ∩ 平面 BCD ＝ CD . ∴ EF ∥ CD ， 又 ∵ CD ⊄ 平面 EF GH ， EF ⊂ 平面 EF GH ， ∴ CD ∥ 平面 EF GH . 解析： (2) 由 (1) 知 CD ∥ EF ，同理 AB ∥ FG ，由异面直线所成角的定义知 ∠ EFG 即为所求的角．易得 ∠ EF G ＝ 9 0 176。 . 解析： (3) 设 FG ＝ x (0 x a ) ， ∵ FG ∥ AB ，则CFCA＝FGAB＝xa， ∴FACA＝a － xa. 又FACA＝EFCD， ∴EFb＝a － xa. ∴ EF ＝b  a － x a. ∵ 四边形 EF GH 是矩形． ∴ S 四边形E F G H＝ FG EF ＝ x b  a － x a＝ba( ax － x2) ＝－ba x －a22－a24＝ －ba x －a22＋ab4. ∴ 当 x ＝a2时，截面 EF GH 面积取得最大值为ab4. 考点三 证平面与平面平行 【 例 3】 如图， P是△ ABC所在平面外一点， A′， B′， C′分别是△ PBC，△ PCA，△ PAB的重心． (1)求证：平面 A′B′C′∥ 平面 ABC。 (2)求证： AC∥ 平面 A′B′C′； (3)求△ A′B′C′与△ ABC的面积之比． 思路点拨： (1)由三角形的重心性质可得线线平行的关系，从而证得线面平行，再进一步证面面平行； (2)由第 (1)题所证的平面 A′B′C′∥ 平面 ABC，可直接推出 AC∥ 平面 A′B′C′； (3)利用相似三角形知识求解． 证明： (1) 连接 PA ′ ， PC ′ ，并延长交 BC ， AB 于 M ，N ，连接 MN . ∵ A ′ ， C ′ 分别是 △ PBC ， △ P A B 的重心， ∴ PA ′ ＝23PM ， PC ′ ＝。