第二节正项级数审敛法

第二节正项级数审敛法内容摘要：

(2) 当 l1，取一个适当小的正数 使得 ,由 极限定义 知，当 ，有 mn 1lnnnn uuluu 11 ,1 即当 时 ,级数的一般项 逐渐增大 , mn nu0lim   nn u由 级数收敛 的 必要条件 可知 发散 . 1nnu类似地，可证当 发散 . ,l i m 1 时 nnn uu 1nnu(3) 当 l=1时，级数可能 收敛 也可能 发散 . 11)1(1l i ml i m 1 ppnnnnnnuu不能判别敛散性 . 但 p级数，当 p1 时 ,级数收敛 , 当 时 ,级数发散 . 1p)0( 14 13 12 11  pn pppp  例如 p—级数 .)0( 71的敛散性判定级数例 xnxnn 1nnnx级数nxnxuunnnnnn1l i ml i m11 解：xxn nn 1l i m.1。 1 10时为调和级数，发散当时发散当时收敛，当xxx.2π3co s 812nnnn的敛散性判定级数例)1π3c o s( 22π3c o s 22 nnnnnn解：nnnnnnnnnnuun221limlim2111 满足而级数.21敛收敛，因此原级数也收级数 n nn21121l i m  nnn例 9 判别级数 .10 !10 32110 2110 1 32 的收敛性  nn解 : 101!10.10)!1( 11  nnnuu nnnn由 比值判别法 可知所给 级数 发散 .  101l i m l i m 1 nuunnnn.2)12( 1 101的收敛性判别级数例  n nn212)12(1 122nnnnnn 此时 l=1， 比值判别法 失效，用其他方法判定。 1)1(2)12( 2)12(l i m l i m 1   nnnnuunnnn解：)2( 11 2ppnn级数，收敛级数.2)121 1收敛（所给级数由比较判别法知： n nnlun nn lim则当 l 1时 级数收敛 ； l 1(或 )时 级数发散 ； 当 l=1时，级数可能 收敛 ，也可能 发散 . 定理 5(根值审敛法 ， 柯西判别法 ) 设 为 正项级数 ，如果它的一般项 un的 n次根的极限等于 l ； 1nnu n nn ul i m 证 :(1) 当 l1，由 极限定义 ，对于一个适当小的正数 , 存在自然数 m， 当 时， 有 mn )1(11收敛收敛，等比级数nnnnurrnrurlu nn n  即 ,1(2) 当 l1，由 极限定义 ，对于一个适当小 的正数 ,存在自然数 m，当 时 , 有 mn 1 ,1  nn n ulu 即. 0l i m 1nnnnuu发散级数因此即通项不趋于零，于是)( 1)1(  nnu n pn n(3) 当 l=1时 ,以 p–级数为例 故当 l=1时 ,级数 可能 收敛， 也可能 发散 . xxxxxxln1el i ml i m:(注意)1l i m,1e1lim1 nnnxx 故 lim lne x xx .131211 11 32所产生的误差近似代替和以部分和收敛，并估计证明级数例。