第二章：解析函数基础

第二章：解析函数基础内容摘要：

nzzznzzez ze z 还可注意，当 为实数时，指数定律 成立；而当 为复数时，也有指数定律 （ ） 这可将 按（ ）展式，再用级数乘法证得（因 为它们都绝对收敛） .从而也有 ， . （ ） 总之，指数三定律对复指数情况也成立 . 21,xx2121 xxxx eee 21, zz2121 zzzz eee 21 , zz ee2121 zzzz eee    nznz ee  有了（ ），立即可以证明著名的欧拉（ Euler）公式（ 为实数）： （ ） 或即 ， 这样一来， 的三角表示式 可写 成指数形式： （ 为实数） . （ ） 这种用 的模 和辐角 表示 的方式称为指数表示式 . 这种表示法非常有用、方便 .   s i nc o s,s i nc o s ieie ii  2c osii ee  ieeii2s in  39。 z   s inc o s iz  iez   ,0z   z 特别值得注意， 且 当且仅当 此外，如果 ，则有 . （ ） 因此，如令 ，则有 （ ） 由（ ）立即可以检查：对 来说， 处处成立 .因此， 是全平面 C中的解析函数 .由于它不 是多项式，我们说它是 超越整函数 . ,1,1 22   iii eiee 1ze .,2 Jninz  iyxz )s i n( c o s yiyeeeee xiyxiyxz  ivue z .s i nIm,c o sRe yeevyeeu xzxz zeze 复指数函数有些性质和实指数函数相似，例如，对任何 ， 但也有些性质与实指数函数不同，例如，由（ ）或直接验证可知， 是周期函数，以 为周期： . （ ） 从（ ）形式地逐项求导，可得 . （ ） 这的确是对的，因若 ，则有 ， 这从（ ）立即可得 .用复合函数求导规则，还 有 ,其中 为任何常数 . Cz .0zezei2ziz ee  2  zz ee  ie x   xixe z  azaz aee )( a  既然指数函数可以推广到复指数情形，自然想到三角函数也可以推广到复变元情形 .事实上，利用 的泰勒展式，我们定义 （ ） 易证这两个级数对任何 是绝对收敛的，所以确有意义 .由此还可把欧拉公式 推广为 ， .（ ） 由此出发，也可定义 等等 xx sin,co sCzzzzzzzzz!5!3s i n!4!1c o s5342z 39。 2c osiziz eezieez iziz2s inzzzzzzs i nc osc ot,c oss i ntan  由（ ）可以看出， 和 仍是以 为周 期的周期函数，且 为偶函数， 为奇函数，它们的 零点也与相应实函数相同 .许多有关实变元的三角函数 公式对复三角函数也成立 ..例如和、差、倍、半公式、 诱导公式及恒等式 等等，这些都不难由欧拉公式（ ）证明 .但要特别注 意，有些式子，特别是一些不等式现在不再成立 .例 如， 和 就不成立（读者不妨试令 来观察） . zcos zsin 2zcos zsin1c o ss i n 22  zz1cos z 1sin z, Rxixz  由（ ）还可知， ， 都是全平面 C中的解析函数（也是超越整函数），而且 . （ ） 由此也得知，其他基本三角函数的熟知的求导公式现在仍成立 . 在实分析中还有应用中常见的双曲函数： 它们可以推广到复变元 （ ） zcos zsin    zzzz c o ss i n,s i nc o s 39。 39。 .2,2xxxx ees hxeec hx Cz.2,2zzzz ees hzeec hz  它们当然也可用 的泰勒展式来推广定义 .由此还 可以定义 等 . 以 为周期，它们也是超越整函数，且 （ ） 还有许多有关实变元双曲函数的恒等式可推广到复变元情况，不一一例举 . 此外，三角函数与双曲函数之间有密切关系 .例如，易证 （ ） 利用（ ），可以把有关三角函数和双曲函数的公式互相转化 . shxchx,s hzc hzc t hzc hzs hzt hz  ,shxchx, i2    ., 39。 39。 c h zs h zs h zc h z .s i n,c o s is h zizc h ziz   在实分析中，对数函数是作为指数函数的反函数而定义的 .我们可用类似的方法定义复变元的对数函数 .  由于指数函数 以 为周期，其反函数，即复变元的对数函数，记为 是个多值函数：如果 是 的一个值，即 ，则显然 都是 的值 .由此可以看到， 的多值性与 的多值性极为相象，它们之间似有密切关系 .事实正是如此 .我们只要把 的实部和虚部分开，便能一目了然 .  设 因此 .当然要设 ，因这时 无解 .将 以指数形式写出： （ 任意取定一值），并记 .于是 ez  i2,Logz 00Logz 00 ez   ,2,1,020  kik 0Logz Logz ArgzLogz,L o g z ez  0z 0ez  iez  zz a r g,  ivu  此式左、右两端是同一复数，它们的模应相等： 或即 ；它们的辐角可相差 的一整数倍： 亦即 这样，我们有重要的公式： （ ） 此式很清楚的表明 的多值性是由 的多值性而来 . （ ）本身也看作 的定义 . 由于。