第二章静电场与恒定电场

第二章静电场与恒定电场内容摘要：

求找出一个封闭面（高斯面） S，在 S面上电场强度 E处处与 S面平行，且 E值相同；或者 S面的一部分 S1上满足上述条件，另一部分 S2上电场强度 E处处与 S面垂直。 这样就可求出对称分布电荷所产生的场。   VV dVdV  01E0E 0【 例 24】 已知半径为 a的球内、外的电场强度为 求电荷分布。 【 解 】 rreeE)2325(330220ararEraE)()(arar)(2150)(1223002200 raa ErErrr  E)()(arar 二、介质中的高斯定理  在有介质存在的情况下，总电场（也称宏观电场）是外加电场和极化介质产生的电场之和，即 （ 242） 式中： 为闭合面内的 总的净束缚电荷。 且 所以 （ 243）  令 （ 244） 0  PSqqd SEPq   V SV PP ddVdVq SPP39。 0  SSdqd SPSE  qdS SPE )( 0PED  0 式（ 243）可写为 （ 245） 式（ 245）称为介质中的 高斯定理的积分形式。  由散度定理，式（ 245）可写成 因闭合面 S是任意的，由此可得到 介质中的高斯定理的微分形式 （ 246）  用式（ 245）计算 D时，只需要考虑自由电荷，而无需考虑束缚电荷 ，显然计算电位移矢量 D较简单。 如果我们仍然需要计算电场强度，则还需找出D和 E的关系。   qdS SD  VVS dVqdVd DSD DPq 实验表明，对于各向同性的、线性的均匀介质，其极化强度 P与宏观电场强度成正比，即 （ 247）  当介质的极化强度 P与宏观电场强度的方向一致，且比值相等时，称为 各向同性介质。 若介质的极化率与 E无关，称为 线性介质。 若介质的极化率与坐标变量无关，则称为 均匀介质。  将式（ 247）代入式（ 244）可得 即 （ 248） 式（ 248）称为 电介质的本构关系。 其中： 为介质的介电常数 ； 为 介质的相对介电常数。 EP 0 eEEEEED   0000 )1( reeED 0 r 【 例 25】 一个半径为 a的导体球，带电量为 q，在导体球外套有半径为 b的同心介质球壳，壳外是空气。 试计算空间任一点的电场强度。 【 解 】 由于导体球和球外介质都是球对称的，故场分布也应该是球对称的，可以用高斯定理求解。  当 时，显然，导体内场强为零，即  当 时，应用介质中的高斯定理，得 )( ar )( bra 01 EQdS  SDrrQ eD24rrQ eDE22 41  当 时，应用真空中的高斯定理，得 三、静电场的基本方程  根据前面所学的静电场的特性，我们可以总结出静电场的基本方程为：  积分形式 （ 249a） （ 249b） )( br 0QdS  SErrQ eE203 4  c d 0lE S qd SD 微分形式 (250a) （ 250b）  理论上求解一组基本方程可唯一地确定静电场的场强，但由于它们是矢量方程组，除了某些特例，直接求解相当困难。 0 E D 静电场的边界条件  在电磁场中，空间常常存在着两种或两种以上的不同媒质。 由于电介质的极化特性不同，在两种不同媒质的分界面上一般存在着面束缚电荷，它将使电场强度和电位移产生跃变。  电场强度和电位移在不同媒质的分界面上的跃变规律，称为 边界条件 （或衔接条件 ）。  由于分界面上的场量产生跃变，静电场方程的微分形式不成立，故只能从静电场方程的积分形式出发来讨论场的边界条件。 一、法向边界条件  在分界面上任取一点，包含该点做一闭合小圆柱，其上下底面与分界面平行，底面积非常小；侧面与分界面垂直，且侧高趋于零，如图 29。 对此闭合面应用介质中的高斯定理得 （ 251） 或 （ 252） 称为 ：静电场法向分量的边界条件 h S D2 D1  1  2 en 图 210 切向边界条件 qdS  SDSSDSD Snn  21Snn DD  21S )( 21 DDn 当介质分界面不存在自由电荷时，法向边界条件变为 （ 253） 或 （ 254）  该边界条件也可用电位来表示 （ 255） nn DD 21 0)( 21  DDnSnn   2211 二、切向边界条件  在分界面上任取一点，包含该点做一小矩形闭合回路。 长边（足够短）分居界面两侧，并与界面平行，短边趋于零，且与界面垂直，如图 210。 由静电场的保守性得 （ 256） 或 （ 257）  两式称为 电场切向分量的边界条件 E1 2 1 1 2 E2 l h et 图 210 切向边界条件 0  lE dc021  lElE tttt EE 21 21 EnEn  表明电场强度 E的切向分量在分界面上是连续的。 同样，切向边界条件也可用电位来表示 （ 258）  在介质分界面不存在自由电荷时，设分界面两侧的电场线与法线 n的夹角为 和 ，由式（ 253）和式（ 256）可得 （ 259）  边界条件实质上是静电场基本方程在媒质分界面上的一种表现形式。 只有同时满足基本方程和边界条件的场矢量 D、 E才是静电场问题的解。 21  1 21221112212tantan nnntntEEEEEE  求出空间的所有电荷分布，要求完成不规则的积分运算，通常是很困难的。 促使寻求解决问题的其它途径，即求解电位所满足的微分方程。  可根据静电场基本方程的微分形式，推导出电位与场源之间满足的泊松方程和拉普拉斯方程。 在 中，代入 和 关系式，得 即 （ 260）  D ED  E  2)(E  2 这就是 电位的泊松方程。  对于无电荷分布区域，即 的空间，有 （ 261） 这就是 电位的拉普拉斯方程。  泊松方程和拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，在一般情况下不易求解。 但是如果场源电荷和边界形状具有某种对称性，那么电位也将具有某种对称性。 这将使电位的偏微分方程简化为常微分方程，可以用直接积分法求解。  常涉及场域限定在一个有限的范围内。 在有限空间区域内，可以有电荷，也可以没有电荷，但在有限区域的分界面上都具有一定的边界条件。 02  0 这些给定边界条件下求解场的问题，称为 边值问题。 所有这些问题的解决，都归结为求解满足给定边值的。