第二章数值微分和数值积分

第二章数值微分和数值积分内容摘要：

103111031)(39。 39。 12)(21)()(21 )(39。 39。 12))()((2)(niiniiniiiinfhbfxfafhfhxfxfhfT误差 做等距节点， niihaxn abh i ,0, 复化梯形公式 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由均值定理知 )(39。 39。 )(39。 39。 .,.],[],[102  nfftsbabaCfnii  )(39。 39。 12 )()(39。 39。 )(12)(39。 39。 12)( 2323 fnabfabhfnhfE n 可以看出，复化梯形公式是收敛的。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS )(2880 )2())()(4)((62)( )4(522122222iiiixxfhxfxfxfhxfii  10)4(5112101210)4(522122)(2880)2()()(2)(4)(3 )(2880)2())()()((62)(miimiimiiniiiiinfhbfxfxfafhfhxfxfxfhfS误差 做等距节点， mnniihaxn abh i 2。 ,0,  复化 Simpson公式 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由均值定理知 )(180 )()(2880 )()(2880 )2()( )4(45)4(45)4(5 fnabfmabfmhfE n 可以看出，复化 Simpson公式是收敛的。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义 若一个积分公式的误差满足 且 C  0，则 称该公式是 p 阶收敛 的。  Ch fR ph ][lim 0)(,)(,)( 642 hOChOShOT nnn ~ ~ ~ 例： 计算 dxx 10 142解：   )1()(2)0(161 718 fxffTkk8kxk 其中 =     )1()(2)(4)0(241od d e ve n4 fxfxffS kk8kxk 其中 = 运算量基本相同 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 积分的自适应计算 函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。 对于变化 缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。 以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ① 先看看事后误差估计 （ 不同的误差表达式，事后误差估计式是不同的 ） 以复化梯形公式为例 )(39。 39。 12 )()()( 2 fhabfTfI n )(39。 39。 212 )()()(22 fhabfTfIn n等分区间 2n等分区间 近似有： )(39。 39。 )(39。 39。  ff  )()(31)()( 22 fTfTfTfI nnn )()(151)()( 22 fSfSfSfI nnn 类似，复化 Simpsom公式 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ② 自适应计算 记 为复化一次， 2次的 Simpson公式 ],[],[21 baSbaS0控制 dxxffI ba )()(求 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ],[],[ 21 baSbaS15],[],[ 21  baSbaS ],[)( 2 baSfI 是 215],2[],2[215]2,[]2,[2121bbaSbbaSbaaSbaaS数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Romberg积分  )()(31)()( 22 fTfTfTfI nnn 由前面的事后误差估计式，   )()()(31)()( 222 fSfTfTfTfI nnnn 则， 这启发我们，可以用低阶的公式组合后称为一个高阶的公式。   )()()(151)()( 222 fCfSfSfSfI nnnn 类似， 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 记 为以步长为 h的某数值积分公式，有 )(hI)()()( mm hochhIfI  mm hohchIfI22)2()(12)2()()2()( mhIhIhIfI12)2()()2()( mhIhIhIfI数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 有如下的 EulerMaclaurin定理 )(12)2()()2()2( 222)()()()1(   mmmmmm hohIhIhIhI若 )()()( 2)( mm hohIfI  为 2m阶公式，则 Romberg积分就是不断地用如上定理组合低阶公式为高阶公式，进而计算积分  Romberg 算法：  ?  ?  ? … … … … … …  T1 = ) 0 ( 0 T  T8 = ) 3 ( 0 T  T4 = ) 2 ( 0 T  T2 = ) 1 ( 0 T  S1 = ) 0 ( 1 T  R1 = ) 0 ( 3 T  S2 = ) 1 ( 1 T  C1 = ) 0 ( 2 T  C2 = ) 1 ( 2 T  S4 = ) 2 ( 1 T 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMEN。