第二章导数与微分21导数的概念22函数的和、差、积、商

第二章导数与微分21导数的概念22函数的和、差、积、商内容摘要：

2 2 23 ( 1 ) 2 3c os , ,1 ( 1 ) 1dy du x x x x x xudu dx x x x        2 2 32 2 233c o s c o s .1 1 1d y d y d u x x xud x d u d x x x x        首页 上页 下页 复合函数的求导法则 例 3 求函数 的导数 . 解 例 4 求函数 的导数 . 解  2s in xey   2 2s in , s in , .xxy e y u u v v e    2 c o s xd y d y d u d v u v ed x d u d v d x       2 sin c o s sin( 2 ) .x x x x xe e e e e  10)53(  xy1 0 9( 3 5 ) 1 0 ( 3 5 ) ( 3 5 )y x x x      9910( 3 5 ) 3 30( 3 5 ) .xx   首页 上页 下页 例 5 求函数 的导数 . 解 例 6 求函数 的导数 . 解 xy 2c o sln )2( c os2c os 1)2c os( l n xxxy )2()2s i n(2c os 1 xxx.2t a n22)2s i n(2c os 1 xxx 32 )s i n( xxy 2 2 23 ( sin ) ( sin )y x x x x    223 ( si n ) [ 1 2 si n ( si n ) ]x x x x   223 ( sin ) ( 1 2 sin c os )x x x x  223 ( sin ) ( 1 sin 2 ) .x x x首页 上页 下页 例 7 求函数 的导数 . 解 例 8 证明幂函数的导数公式： 证 22ln xay 2 2 2 21l n l n ( )2y a x a x    2 2 2 22 2 2 21 1 1l n ( ) ( ) .22xy a x a xa x a x          1 ( 0 ) .x x x  l n l nxxx e e   l n l n 11( ) ( l n ) .xxx e e x x xx           首页 上页 下页 隐函数的导数 我们把由方程 所确定的函数叫作 隐函数 . 例 1 求由方程 33 10xy   所确定的隐函数的导数 xy39。 .解 0),( yxF自变量 x和函数 y之间的函数关系用明显的表达式给出的函数 ,叫做 显函数 . 0s in)3(。 1)2(。 01)1( 2233  xyyxyxyx3 31 xy 利用复合函数的求导法则，方程两端同时对 x求导数 ,得 在方程中，将 y看作 x的函数，则是 x的复合函数 . .033,0)1()()(2233xxxxyyxyx 22 ( 0 ) .xxyyy   首页 上页 下页 例 2 求由方程 xyxy e  所确定的隐函数的导数 xy39。 .解 方程两端对 x求导数，得 例 3 求椭圆 22116 9xy 在点 处的切线方程 . 解 所求切线斜率为 2 xk y 39。 | .方程两边对 x求导 ,得 2089x y y 39。 .916  xy 39。 .y( 1 ) ,xyy x y e y  .xyxyy e y x yye x x y x   323,2首页 上页 下页 将 3232x , y代入上式，得 234  xk y 39。 | ,于是所求切线方程为 即 3 4 8 3 0  x y .例 4 求幂指函数 0xy x ( x ) 的导数 . 解 333 ( 2 ) ,24yx    两边取对数，得 ln ln .y x x两边对 x求导，得 1 l n 1 ,xyxy   ( l n 1 ) ( l n 1 ) .xxy y x x x    先取对数 ,再利用隐函数的求导法求导的方法叫做 对数求导法 . )()( xvxuy 对数求导法 ( ) l n ( ) ,v x u xye 复 合 函 数 求 导 法首页 上页 下页 隐函数的导数 例 5 的导数 . 解 例 6 求函数 的导数 . 解 s in ( 0)xy x x求 )ln( s in)()( lns i nlns i ns i n xxeexy xxxxx ])( lns inln)[ ( s inlns i n xxxxe xxs i n s inc o s l n .x xx x xx)4()4)(3( )2)(1(   xxx xxy1l n [ l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( 3 ) l n ( 4 ) ] ,2y x x x x       两边取对数，得 两边对 x求导数，得 1 1 1 1 1 1 ,2 1 2 3 4yy x x x x       首页 上页 下页 例 7 求函数 隐函数的导数 的导数 . 解 1 1 1 1 12 1 2 3 41 ( 1 ) ( 2) 1 1 1 1 .2 ( 3 ) ( 4) 1 2 3 4yyx x x xxxx x x x x x                )11(a r c s i n  xxy)11(a r c s i n  xxy s in .22x y y    两边对 x求导数，得 1 c os .xyy 1 .c o sxy y, c o s 022yy   时 22c o s 1 sin 1 .y y x    21( a r c s in ) ( 1 1 ) .1xx x    首页 上页 下页 例 8 求函数 的导数 . 解 211 xy 39。 .x类似地，可求得 隐函数的导数 )(a r c t a n  xxy)(a r c t a n  xxy ta n .22x y y    两边对 x求导数，得 21 se c ,xyy 21 .se cxy y222 1tan1s e c xyy 21( a r c ta n ) ( ) .1xx x       21( a r c c o s ) ( 1 1 ) ,1xxx     21( c o t ) ( ) .1a r c x xx        首页 上页 下页 初等函数的导数 1. 导数的基本公式 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 3. 复合函数的求导法则 首页 上页 下页 12222( 1 ) ( ) 0 ( ) . ( 2) ( ) .( 3 ) ( ) l n . ( 4) ( ) .11( 5 ) ( l og ) . ( 6) ( l n ) .ln( 7 ) ( si n ) c os . ( 8 ) ( c os ) si n .11( 9) ( t a n ) se c . ( 10) ( c ot ) c sc .c os si n( 11 ) ( se c ) se c t a n . ( 12)x x x xaC C x xa a a e exxx a xx x x xx x x xxxx x x        为 常 数2222( c sc ) c sc c ot .11( 13 ) ( a r c si n ) . ( 14) ( a r c c os ) .1111( 15 ) ( a r c t a n ) . ( 16) ( c ot ) .11x x xxxxxx art xxx      初等函数的导数 1. 导数的基本公式 首页 初等函数的导数 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 ( ) , ( ) , ,( 1 ) ( ) . ( 2 ) ( ) .u u x v v x Cu v u v u v u v u v         设 是 可 导 函 数 是 常 数 则2( 3 ) ( ) . ( 4 ) , ( 0 ) .u u v u vC u C u vvv    ).()()]([,)(),(xufuyyxfyxuufyxux  的导数为则复合函数都是可导函数设首页 上页 下页 例 1 设 3333xyx   ，求 y39。 .解。