第九章行列式与矩阵

第九章行列式与矩阵内容摘要：

8( 1 ) 2 A 3 B 2 38 4 1 0 4 1 2 6            4224 6 211 33( 2 ) X ( B A ) .4 1 6 1 6 4 1 6 1 6333 3 3     2 4 6A,8 4 1 0 6 2 8B.4 1 2 6(1 ) 2 A 3 B .求 ( 2) A 3X =B , X .若 求 例 2 已知 4 1 8 8 6 1 2 2 4 1 4 1 4 1 2 .1 6 1 2 8 3 6 2 0 1 8 4 4 4 3 8                 解 A ( ) , B ( ) ,ik m s k j s nab 设 矩 阵 则 由 元 素1 1 2 21... si j i j i j i s s j i k k jkc a b a b a b a b     ),. . .,3,2,1。 ,. . .,3,2,1( njmi C ( ) , A Bij m nm n c 构 成 的 行 列 矩 阵 称 为 矩 阵 与 的 乘 积 .C AB.． （ 3）矩阵的乘法 定义 5 3 2 1A,2 3 513B 5 4 .36例 3 已知 求 AB与 BA． 133 2 1A B 5 42 3 536     解 3 1 2 ( 5 ) ( 1 ) 3 3 3 2 4 ( 1 ) 6 1 0 1 1 .2 1 ( 3 ) ( 5 ) 5 3 2 3 ( 3 ) 4 5 6 3 2 2 4                                  矩阵的乘积不满足交换律 . 9 7 1 47 2 2 2 52 0 1 2 2 7A B B A1 3 3 2 1 2 3 ( 3 ) 1 ( 1 ) 3 55 3 4 2 5 2 4 ( 3 ) ( 5 ) ( 1 ) 4 53 3 6 2 3 2 6 ( 3 ) 3 ( 1 ) 6 5                                  133 2 1B A 5 42 3 536  矩阵的乘法满足以下规律（假设运算是可行的）： (A B )C = A (B C ).A ( B +C ) =A B +A C .( B +C ) A =B A +C A .( 3) ( A B ) =( A ) B =A ( B )k k k（其中 k为常数）． 注意 两矩阵的乘法与两数的乘法有很大的差别 . 1 1 1 1A 0 , B 0 .1 1 1 1              1 1 1 1 0 0A B 0 .1 1 1 1 0 0                   （ 1）结合律 （ 2）分配律 在矩阵运算中，如果 且 也不能推出 成立 . AB=AC A0 B=C1 0 2 0 2 0A , B , C ,0 0 0 0 0 1                 2 0 2 0A B , A C .0 0 0 0           A B A C ..CB1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 322 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 310E A A .01a a a a a aa a a a a a            1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 332 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 31 0 0A E 0 1 0 A .0 0 1a a a a a aa a a a a a           解 . 例 4 设 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3A,a a aa a a 231 0 010E , E 0 1 0 .010 0 1  23E A A E .求 与一般地有 A E A , E A A .m n n m n m m n m n   定义 6 设 A是 n阶方阵， k为正整数，则我们称 A A A Akk个为方阵 A的 k次 方幂 ，简称为 A的 k次幂． 矩阵 A的方幂满足以下运算法则： (1 ) A A A .k l k l( 2 ) ( A ) A .k l k l (k, l为正整数 ) ( A B ) A B ( 1 ) .k k k k一般来说 . 例 5 计算 ).(101 为正整数nn解 1 0 1 0 0 0,1 0 1 0               AA E B .  B2 0 0 0 0 0 0B.0 0 0 0               002 , B .00nn    所以，由二项式定理，得 EB B E .1 2 2( 1 )A ( E B ) E E B E B B2n n n n n nnnn         1 0 0 0 1 0E B .0 1 0 1nn n                   把矩阵 A所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为 A的 转置矩阵 . A11 12 121 22 212......A...nnm m m na a aa a aa a a11 21 112 22 212......A...mmn n m na a aa a aa a a （ 4）矩阵的转置 定义 7 矩阵的转置满足下列运算法则： (1 ) ( A ) A . ( 2) ( A B ) A B .    ( 3 ) ( A ) A ( ) .k k k 为 常 数( 4) ( A B ) B A .  例 6 设 2 0 1A,1 3 2 17B 4 2 .20 (AB) .求解法一 172 0 1 0 1 4 4 21 3 2 1 7 1 320         ， 0 1 7 ( A B ) .1 4 1 3 解法二 211 4 2 0 17( A B ) B A 0 3 .7 2 0 14 1312              由 n阶方阵 A的元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 A的 行列式 . | A |.11 12 13 121 22 23 21 2 3......A...nnn n n nna a a aa a a aa a a a（ 5）矩阵的行列式 定义 8 11 12 13 121 22 23 21 2 3......| A |...nnn n n nna a a aa a a aa a a a矩阵 A的行列式满足下法则 : (1 ) | A | | A | . ( 2) | A | | A | .nkk( 3 ) | A B | | A | | B | .解 1 3 2 5 1 1 1 7 1 1 1 7 A B 5 6 .2 2 3 4 2 2 2 2                    1 3 2 5| A | 8 , | B | 7 , | A || B | 5 6 .2 2 3 4       | A B | | A | | B | .  注意 一般来说 | A | | A | .kk例 7 设 13A,22 | A B | | A | | B | .试 验   逆矩阵 设 A是一个 n阶方阵 ,E是一个 n阶单位矩阵 .如果存在一个 n阶方阵 B,使 AB=BA=E,则称 B为 A的逆矩阵 ,简称为 A的逆阵 ,或 A的 逆 ．这时称 A为可逆矩阵 ,简称可逆阵 . 1 0 1 0A , B ,1 1 1 1         1 0 1 0 1 0A B E ,1 1 1 1 0 11 0 1 0 1 0B A E .1 1 1 1 0 1                                  1. 逆矩阵的概念 定义 1 例如 10A001 1 1 22 1 2 2B bbbb 1 1 1 2 1 1 1 22 1 2 21 0 1 0A B .0 0 0 0 0 1bb bbbb                 并非任意一个非零方阵都有逆矩阵 . 例如 因此，矩阵 A不可逆 . 性质 1 如果方阵 A可逆，则 A的逆矩阵是惟一的． 设 B， C都是 A的逆矩阵， 所以 A的逆矩阵是惟一的． B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C． 性质 2 可逆矩阵 A的逆矩阵 1 1 1A , ( A ) A .   是 可 逆 矩 阵 且1 A A 是 的 逆 矩 阵 ， 11 A ( A ) A( A ) E .  证 证 11A A A A E11(A )性质 3 可逆矩阵 A的转置矩阵 39。 1 1A ( A ) ( A ) .也 是 可 逆 矩 阵 , 且证 11A ( A ) ( A A ) E E,     11( A ) A ( A A ) E E,     11 ( A ) ( A ) .性质 4 两个同阶可逆矩阵 A、 B的乘积是可逆矩阵，且 1 1 1( A B ) B A .  1 1 1 1 1 1 ( A B ) ( B A ) A ( B B ) A A E A A A E ,        1 1 1 1 1 1( B A ) ( A B ) B ( A A ) B B EB B B E,        1 1 1 ( A B ) B A .  证 1 1 1( A B ) A B .  注意 一般来说， 若 n阶矩阵 A的行列式 则称 A为 非奇异矩阵 .反之 ,若 则称 A是 奇异矩阵 . | A | 0,| A | 0, A B B A E.   | A || B | | A B | | E | 1 ,   | A | 0 , A 所 以 为 非 奇 异 矩 阵 .2. 逆矩阵的求法 定义 2 定理 1 若方阵 A可逆，则 A为非奇异矩阵 . 证。