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第三节偏导数点击打开链接-第三节偏导数内容摘要：

M 处的切线 xTM 0 对 x 轴的斜率 . 偏导数 ),( 00 yxf y 就是曲面被平面 0xx 所截得的曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴的斜率 .几何意义 : ),(22yxfx zxzx xx  ),(22yxfy zyzy yy),(2yxfyx zxzy xy  ),(2yxfxy zyzx yx函数 ),( yxfz  的二阶偏导数为纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 . 二、高阶偏导数 例 5 　设 13323 xyxyyxz ，求22xz、xyzyxz22yz及33xz.解 xz ,33 322 yyyx  yz。 92 23 xxyyx 22xz ,62xy 22yz。 182 3 xyx 33xz ,62yxyz2.196 22  yyxyxz2,196 22  yyx原函数图形 偏导函数图形 偏导函数图形 二阶混合偏导函数图形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系： 例 6 设 byeu ax c o s ，求二阶偏导数 .解 ,c o s byaexu ax。 s i n bybeyu ax,c os222byeax u ax ,c o s222byeby u ax,s i n2bya b eyx u ax .s i n2bya b exy u ax定理 如果函数 ),( yxfz  的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域 D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．问题： 混合偏导数都相等吗。 具备怎样的条件才相等。 例 6 验证函数 22ln),( yxyxu  满足拉普拉斯方程.02222 yuxu解 ),l n(21ln 2222 yxyx ,22 yx xxu  ,22 yx yyu ,)()( 2)( 222222222222yxxy。