第三章离散傅立叶变换

第三章离散傅立叶变换内容摘要：

xnxD F T10* )(])([NnNnkN kRWnx 10* )(])([NnNnkNNnN kRWWnx10*)( )(])([NnNnkNN kRWnx)())((* kRkNX NN )()]())(([)]([)(** kXnRnxD F TnxD F TkXNN 则：，如果：证明： )(])([])([])([)())(()]())(([**10*0)1(*1010**kXWnxWnxWnxWnRnxnRnxD F TNnnkNNnnkNNnnkNNnnkNNNNN可知： )())(()( ** kRkXnx NN)()())(( ** kXnRnx NN  )()(]))(())(([21) ] }({R e [)]([)(*kXkRkNXkXnxD F TnxD F TkXepNNN则：如果：的圆周共轭对称分量。 该序列复数序列实部的D F TD F T 证明： )()(]))(())(([21)]())(()([21) ] }([)]([{21) ] }({ R e [)]()([21)](R e [****kXkRkNXkXkRkNXkXnxD F TnxD F TnxD F TnxnxnxepNNNNN )()(]))(())(([21) ] }(I m [{)]([)(*kXkRkNXkXnxjD F TnxD F TkXopNNN则：如果：。 的圆周共轭反对称分量该序列的复数序列虚部乘以D F TD F Tj 证明： )()(]))(())(([21)]())(()([21) ] }([)]([{21) ] }(I m [{)]()([21)](I m [****kXkRkNXkXkRkNXkXnxD F TnxD F TnxjD F TnxnxnxjopNNNNN、六 )]([)](I m [)]([)](R e [nxD F TkXjnxD F TkXopep ，同样，可证明：(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性 )()()()1( kXkXkX opep 、)())(()())(()()()2(***kRkNXkRkXkXkXNNepNNepepep、)())(()())(()()()3(***kRkNXkRkXkXkXNNopNNopopop、虚序列的对称特性 当 x(n)为实序列时 ， 根据特性之三 ， 则 X(k)=Xep(k) 又据 Xep(k)的对称性： )())(()( * kRkNXkX NNepep  当 x(n)为纯虚序列时 ， 根据特性之四 ， 则 X(k)=Xop(k) 又据 Xop(k)的对称性： )())(()( * kRkNXkX NNopop )())(()( * kRkNXkX NN)())(()( * kRkNXkX NN( ) ( )x n X kR e[ ( )] ( )epx n X kI m [ ( )] ( )opj x n X k( ) R e [ ( ) ]epx n X k( ) I m [ ( ) ]opx n j X k总结：共轭对称性 R e[ ( )] ( ) ( )epx n X k X kI m [ ( )] 0 ( ) 0opj x n X k( ) R e [ ( ) ]epx n X k( ) I m [ ( )]opx n j X k纯虚序列的共轭对称性 R e[ ( )] 0 ( ) 0epx n X kI m [ ( )] ( ) ( )opj x n X k X k( ) R e [ ( ) ]epx n X k( ) I m [ ( )]opx n j X k实数序列的共轭对称性 11[ ( ) ] ( )D F T x n X k 22[ ( ) ] ( )D F T x n X k解：利用两序列构成一个复序列12( ) ( ) ( )w n x n jx n12( ) [ ( )] [ ( ) ( )]W k D F T w n D F T x n j x n  则12[ ( )] [ ( )]D F T x n j D F T x n12( ) ( )X k jX k例：设 x1(n)和 x2(n)都是 N点的实数序列，试用一次 N点 DFT运算来计算它们各自的 DFT: 1 ( ) R e [ ( )]x n w n由得11( ) [ ( )] { R e [ ( )]} ( )epX k D F T x n D F T w n W k  *1 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )2 N N NW k W N k R k  2 ( ) I m [ ( )]x n w n由得221( ) [ ( ) ] { I m [ ( ) ] } ( )opX k DFT x n DFT w n W kj  *1 [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )2 N N NW k W N k R kj  )10()()]([)(10 NkWnxnxD F TkXNnnkN)30()(304  kWnxnnk)30(4321 34244  kWWW kkk1043214321)0( 040404  WWWXjWWWWWWX222243214321)1(14141434241426443214321)2(242424644424WWWWWWXjXX 22)1()3( * 例：求序列： x(n) = (n)+2 (n1)+ 3(n2)+4 (n3) 的 4点 DFT。 )10()()]([)(10 NkWnxnxD F TkXNnnkN308)(nnkWnx )70(432138288  kWWW kkk1043214321)0( 080808  WWWXjWWWX )233()21(4321)1( 382818 jWWWX 224321)2( 684828 jWWWX )233()21(4321)3( 986838 243214321)4( 1288848  WWWXjXX )233()21()3()5( * jXX 22)2()6( * jXX )233()21()1()7( * 例：求序列： x(n) = (n)+2 (n1)+ 3(n2)+4 (n3) 的 8点 DFT。 四、圆周卷积和 设 x1(n)和 x2(n)均为长度为 N的有限长序列，且有： 和  )()( 11 kXnxD F T    )()( 22 kXnxD F T )()()( 21 kXkXkY 如果：  )()( kYI D F Tny 则： N )(2 nx    )()( 11021 nxnRmnxmx NNmN    N )(1 nx    )()( 21012 nxnRmnxmx NNmN    12( ) ( ) ( )( ) [ ( )]Y k X k X ky n IDF S Y k证：由周期卷积和，若 ， 则 1120( ) ( )Nmx m x n m1120( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )NN N Nmy n y n R n x m x n m R n   1120( ( ) ) ( ( ) )NNNmx m x n m1120( ) ( ( ) )NNmx m x n m圆周卷积过程： 1）补零 (当两序列不等长时 ) 2）周期延拓 (有限长序列变周期序列 ) 3）翻褶，取主值序列 (周期序列的翻褶 ) 4）圆周移位 5）相乘相加 x(n) n 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 2 1 3 2 1 3 2 1 3 … … x(n) n 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 2 1 3 2 1 3 2 1 3 … … n x(n) 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 … … 2 1 3 2 1 3 2。