第三章控制系统的稳定性分析

第三章控制系统的稳定性分析内容摘要：

对渐近稳定的平衡状态，相应的李雅普诺夫函数总是存在的。 第二法适用范围：普遍方法。 设系统状态方程为： Xc=0为其平衡状态。 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)， 并且满足下列条件： （ 1） V(x,t)是正定的； （ 2） 是负半定的；  txfx ,),( txV定理 2： （条件放宽） （ 3）对于任意的初始时刻 t0和任意的初始状态 x(t0) 在 时，除了在 x=0时， 外， 不恒为零，那么系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 如果随着 ，函数 ，则在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。 x ),( txV0tt 0),( txV ),( txV定理 3： （系统稳定条件） 设系统状态方程为： Xc=0为其平衡状态。 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)， 并且满足下列条件： （ 1） V(x,t)是正定的； （ 2） 是负半定的；  txfx ,),( txV则系统在原点处的平衡状态是稳定的。 定理 4： （系统不稳定条件） 设系统状态方程为： Xc=0为其平衡状态。 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)， 并且满足下列条件： （ 1） V(x,t)是正定函数； （ 2） 也是正定函数； 则系统在原点处的状态是不稳定的。  txfx ,),( txV如果除原点外， 不恒等于零，则定理（ 4）第二条可改为正半定函数。 ),( txV关键： 如何确定一个李雅普诺夫函数。 线性系统李雅普诺夫稳定性分析 线性定常系统稳定性分析 线性定常连续系统渐近稳定判据 线性定常连续系统状态方程为： Axx  假设 A是非奇异的，则唯一的平衡状态在原点 x=0处。 选李雅普诺夫函数为： PxxtxV T),(P为正定的实对称矩阵 (待求 )。 对李雅普诺夫函数求导，得： QxxxPAPAxP A xxPxAxP A xxPxAxxPxPxxPxxdtdtxVTTTTTTTTTTT)()()(),( 由定理 1，若要求系统是渐近稳定的， Q应为负定的。 定理 5：线性定常系统稳定的 充要条件 是：对于任意给定的对称正定矩阵 Q， 都存在一个对称正定矩阵 P，使得 ， 则 即为所求的李雅普诺夫函数。 如果给定的 Q是正半定的 ， 则要求 不恒等于零。 QPAPA T  PxxtxV T),(),( txV习题 1： 21211110xxxx 称为 李雅普诺夫方程。 QPAPA T 应用时，常令 Q＝ I。 （为何。 ） 线性定常系统稳定性与谁有关。 习题 2： 21210110xxxx习题 3： 1sk21s s1 u x1 x3 x2 试确定系统稳定时 k值。 假定： 100000000Q 线性定常离散系统渐近稳定判据 线性定常离散系统状态方程为： 0)()1(cxkG。