第一——四章习题

第一——四章习题内容摘要：

jjn nnjnjnjnnjnnnjnnjeXeXenxeenxenxnxenxnXFTnnenxnXFT）（令取偶数解 ： （ a） （ b） 5 设 是如图所示的 信号的傅里叶变换，不必求出 ，试完成下列计算：  jXe  xn jXe)( 0jeX    deX j )(   deX j 2)( (a) (b) (c) 分析 利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞 瓦公式。 )()(2 1 22  nj nxdex 6解：由序列的傅里叶变换公式 解：由 Parseval公式 解：由序列的傅里叶反变换公式 )(nx )( jeX)( 0nn )( nue an6. 求以下序列 的频谱。 (2) (1) 分析 )( zX jjj ezzXeXeX  )()( )()( jeXnnjj enxeX  )()(可以先求序列的 Z变换 再求频率 即 为单位圆上的 Z变换， 或者直接求序列的傅里叶变换 解答 )(nx  0 )( )()( )1(0nznnZnxZzX0 |)()(jnezjezXeX j 111 )()()2(zenueZzXaanjaezjeezXeX j11 |)()(对题中所给的 先进行 z变换再求频谱得： )(nx 的 z变换代数表示式是下式，问 求出对应的各种可能的序列表达式。 )83451)(411(411)(2122zzzzzX分析 ）要单独讨论，（环状、圆外、圆内：有三种收敛域：双边序列的收敛域为：特殊情况有：左边序列的收敛域为：因果序列的收敛域为：右边序列的收敛域为：特殊情况有：有限长序列的收敛域为 0 0 , , 0 0 , , 0 , 0 0 , 0 , 0 22112121zRzRnnRznnRznnzRnnzRnznznnnzxxxxxx用围线积分法求逆 Z变换有两个关键。 一个关键是知道收敛域以及收敛 域和序列特性之间的关系， 可以总结成几句话： )431)(211)(211(2111111ZjZjZZ)431)(211)(411()211)(211()(11211ZZZZZZX 解 : 对 X(Z)的分子和分母进行因式分解得 X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , j/2 , 3/4 ∴ X(Z)的收敛域为 : (1) 1/2 | Z | 3/4 , 为双边序列 (2) | Z | 1/2 , 为左边序列 (3) | Z | 3/4 ， 为右边序列 （ 1） 解： ① 长除法 思： 用长除法，留数定理，部分分式法求以下 的 z反变换 ()Xz由 Roc判定 x(n)是右边序列，用长除法展成 z的负幂级数，分子分母按 z的降幂排列 ② 留数法 当 时， 在围线 c内只有一个 单阶极点 ③ 部分分式法 查表由 其中 已知 利用 变换性质求 的 变换 思：有一个信号 ，它与另两个信号 和 的关系是 解： 23. 已知系统用下列差分方程描述 )1()2()1()(  nxnynyny (a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 限定系统是因果的，写出 H（ z)的收敛域，并求此系统的 单位抽样响应； (c) 限定系统是稳定的， 写出 H（ z)的收敛域，并求此系统的 单位抽样响应； 分析 Y ( z ) y ( n ), )()( , )()(  zHnhzXnx)]([)(/)()( nhZzXzYzH  则 ， 要求收敛域必须知道零点、极点。 收敛域为 Z平面 某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域 若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因果）。 解答 )()()()( 121 zXzzYzzYzzY  ))((1)()()(21211azazzzzzzXzYzH    azz   az(a) 对题中给出的差分方程的两边作 Z变换，得： 所以 零点为 z=0，极点为 （ b) 因为是因果系统，所以 |z|。  2121211))(()( azzazzaaazazzzH因为020121121121111111nnnnnn zazaaazazaaa  , )(1)( 212121aanuaaaanh nn式中所以 )(zH 由于 的收敛区域不包括单位圆，故这是个不 稳定系统。 )(zH12 aza   z 21211)(azzazzaazH  0211211)( nnnnnn zazaaazH所以  )()()1()()()1(1)( 2112nununuanuaaanhnnnn则有(a)若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆 ,因此选 的收敛区域为 ，即 ，则 中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。 从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。 24． 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=(n－ 1)+x(n)+(n－ 1) （ 1） 求网络的系统函数 H(z)及单位脉冲响应 h(n)； （ 2） 写出网络频率响应函数 H(ejω)的表达式， 并定性。