第1章向量与矩阵

第1章向量与矩阵内容摘要：

512211213102 BA ,设    ., BABA 3221 求例 2      51221122123212022221 BA   1729735153663321310253132323131321310232 BA134013512211426204解 例 3 ., XBAXBAXX求，其中，满足如果矩阵022021122BAXXBAX 212 由已知0220212112X解 .222201102112引例 • 矩阵的乘法 由已知得 某服装商店一天的销售量如下表：且知 每条 W牌牛仔裤的利润是 15元； 每条 L 牌牛仔裤的利润是 ； CF牌是 20元、 BO牌是 、 BA牌是 20元 . W L CF BO BA 28 30 32 34 利润矩阵202015B4321A这里问题 1. 在这一周之内 .，最小号牛仔裤的销售利润总和是多少。 问题 2. 30号牛仔裤的利润总和是多少。 W L CF BO BA 28 30 32 34 问题 3. 所有牛仔裤的销售利润总和是多少。 利润矩阵202015B设为 A   1 2 021031.12020151B  .22020152B59752575387120205122051715301100653221685210313...... AB总利润 问题 2. 30号牛仔裤的利润总和是多少。 问题 3. 所有牛仔裤的销售利润总和是多少。 586259752575387120 .... 由    ., nsijsmij bBaA  设矩阵矩阵 A与 B的 乘积 是一个 m n矩阵   ,nmijcC 矩阵乘法定义 注 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘 . 其中 记作 C =AB.  njmibabababacskkjiksjisjijiij,。 , 212112211 注 按此定义，一个 1 s矩阵与一个 s 1矩阵的乘积是一个 1阶方阵，也就是一个数 .如前例中求得携手销售各个型号牛仔裤利润总和 . 这表明乘积矩阵 AB=C的第 i行第 j列元素 cij 是 A的第 i行与 B的第 j列对应元素乘积之和 .  sjisjijisjjjisiibabababbbaaa 22112121即skijkjik cba1.ABBA 的乘积与求矩阵 43110231101420201301 43110231101420201301ABC例 4          421031023202020212202042411330013103101111231041.1199 129  解 .BAABBA 与的乘积与求矩阵 63422142由该例可知，在一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，即 AB≠BA. 且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 . 例 5 解 (i) (AB)C=A(BC)。 (ii)A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA。 (iii) k(AB)=(kA)B=A(k B), (其中 k为数 ). 矩阵的乘法不满足交换律， .BAAB 如果 AB = BA 时 , 称 A, B为 可交换 矩阵 . 矩阵的乘法运算规律 （假设运算都是可行的） 注意  328021382201T•矩阵的转置 定义 把矩阵 A的行列互换得到一个 n m矩阵，称为 A 的转置 , 记作 AT . ,42 3143 21  T例如   .931931 T,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA设 .212221212111mnnnmmTaaaaaaaaaA则(i) (AT)T=A (ii) (A+B)T=AT+BT 证明 (iv)    , nsijsmij bBaA  记   ,nmijcCAB 由矩阵的乘法定义， (AB)T的 一般项为 运算规律 （假设运算都是可行的） (iii) (kA)T=k AT (iv) (AB)T=BTAT 设 ,skkijksijsijijji babababac12211 对于多个矩阵相乘，有  TTTtTt AAAAAA 1221    ., TABBA 求已知  102324171231102,1013173140102324171231102   AB因 1031314170213012131027241TTT ABAB  .1031314170TAB故解法 1 解法 2 例 6   1121123123443212320531112301421...,..,.XXABBABABA，求已知求设求 .. 49911111:答案综合练习 ..)..( 113202 X?,.1edecbdba)1yx5 . ( A B。 1231211111111114yxfBA 求设..0222644:答案.. feydxcybxyax  2225 22综合练习 • 矩阵的初等变换 定义 对 m n矩阵施以以下变换均称为矩阵的初等变换： (ii)以非零数 k乘某行的所有元素； (iii)把某一行的所有元素的 k倍加到另一行对应的元素上去 . )( ji rr 记作)( kr i 记作)( ji krr 记作初等行变换： 注 将上述定义中 “行”改为“列”即为初等列变换定义 . (i)对调两行； (i)对调两列； (ii)以非零数 k乘某列的所有元素； (iii)把某一列的所有元素的 k倍 加到另一列对应的元素上去 . )( ji cc 记作)( kc i 记作)( ji kcc 记作初等列变换 注 初等行（列）变换统称初等变换 .教材重点讨论初等行变换 . 32154060060054032131 rrA例如 600108032160054032121rA。