概率论续

概率论续内容摘要：

某固定的 n，有 . 由于 ，因此，在所给条件下，中心极限定理不 仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是 1，可 见在这些条件下，中心极限定理的结论更为深入。 }{ nX 2 0iiEX D X  且 ，11l i m1 niin XnP niiXnP1111 2 1 ( n )niiiXnnnP X Pn n            当 充 分 大2 1 1， 当n n      理 契 比 雪 夫 不 等 式 的 特 殊 情 形33 数 理 统 计 34 关键词： 总 体 个 体 样 本 统 计 量 2  分 布t 分 布F 分 布第六章 数理统计的基本概念 引言： 数理统计学 是一门关于数据收集、整理、 分析和推断的科学。 在概率论中已经知道，由 于大量的随机试验中各种结果的出现必然呈现 它的规律性，因而从理论上讲只要对随机现象 进行足够多次观察，各种结果的规律性一定能 清楚地呈现，但是实际上所允许的观察永远是 有限的，甚至是少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于 1000小时者为次品，如何确定次品率。 由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问题之一。 一 个统计问题总有它明确的研究对象 . 研究对象的全体称为 总体 (母体 )， 总体中每个成员称为 个体 . 研究某批灯泡的质量 总体 167。 1 总体和样本 • 总 体 与个 体 然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项 (或几项 )数量指标和该数量指标在总体中的分布情况 . 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是 总体 . 该批灯泡寿命的全体就是总体 灯泡的寿命 由于每个个体的出现带有随机性 ， 即相应的数量指标值的出现带有随机性。 从而可把此种数量指标看作随机变量 ， 我们用一个随机变量或其分布来描述总体。 为此常用随机变量的符号或分布的符号来表示总体。 通常，我们用随机变量 X , Y , Z,… , 等 表示总体。 当我们说到总体，就是指一个具有 确定概率分布的随机变量 (或者，随机向量 )。 三种常见连续型分布的密度函数 • 均匀分布 • 指数分布 • 正态分布 1 ( ) ,()0,b a a x bfx     其 它()E( , )U a b/1 ,0()0, 其 它  xexfx2( , )N 22()21()2xf x ex     三种常见离散型分布的概率分布律（列） • Poisson分布 ( ) ( 0 )   ()!0 , 1 , ... , k eP X kkk , 0 , 1 , .. .( ) ( ) !0, 其 它   x exf x P X xx•二项分布 ( , )( 0 1 )b n p p( ) (1 )0 , 1 , .. .,  k k n knP X k C p pkn  ( 1 ) , 0 , 1 , . . . ,( ) ( ) 0, 其 它    x x n xnC p p x nf x P X x•01分布 ( 1 , )( 0 1 )b p p1( ) (1 )0 , 1kkP X k p pk   1( 1 ) , 0 , 1( ) ( ) 0, 其 它    xxp p xf x P X x• 全面调查 考察总体的方法： • 抽样调查（采用） •随机样本 1. 样本的定义 为推断总体的分布及各种特征 ,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验 ,以获得有关总体的信息 .这一抽取过程称为 “ 抽样 ” . 所抽取的部分个体称为样本 .通常记为 样本中所包含的个体数目 n称为样本容量 . 12( , , , )nX X X X注：每一个样本 都是随机变量 iX 容量为 n的样本可以看作 n维随机变量 .但是 ,一 旦取定一组样本 ,得到的是 n个具体的数 称此为样本的一次观察值 ,简 称样本值 . 2. 简单随机样本 抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计推断 ,这就要求样本能很好的反映总体的特性且便于处理 .为此 ,需对抽样提出一些要求 ,通常有两条 : 12( , , , ) ,nx x x满足上述两条性质的样本称为 简单随机样本 . 获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样 . 1. 代表性 ： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的总体 X有相同的分布 . 2. 独立性 ： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量 . [说明 ]： 后面提到的样本均指简单随机样本，由概 率论知，若总体 X 具有分布函数 F(x), 则样本（ X1,X2,„,X n）具有联合分布函数    121,nn n iif x x x f x    121, nn n iiF x x x F x若总体 X为连续型（或离散型）随机变量， 其概率 密度函数（或分布律）为 f(x)，则样本 （ X1,X2,„,X n）具有联合密度函数（或者联合分 布律）： 1212设 总 体 服 从 期 望 为 1 / ( 0) 的 指 数 分布 , ( , , , ) 是 来 自 该 总 体 的 样 本 , 求 样 本( , , , ) 的 联 合 概 率 密 度 .nnXX X XX X X 解 的概率密度为总体 X ,0()0 , 0xexfxx   ,, 21 有相同的分布且与相互独立因为 XXXX n12 ( , , , )nX X X所 以 的 联 合 概 率 密 度 为121( , , , ) ( )nn n iif x x x f x 1 ,0 , 1 , 2 , ,0,niixniex in   其 它例 1 2 1 2( 1 , ) , 0 1 ,( , , , ) , ( , , ) .设 总 体 服 从 两 点 分 布 其 中是 来 自 总 体 的 样 本 求 样 本的 联 合 分 布 律nnX b p pX X X X XX解 的分布律为总体 X, 21 相互独立因为 nXXX 1( ) { } ( 1 ) , 0 , 1xxf x P X x p p x    ,有相同的分布且与 X12 ( , , , )nX X X所 以 的 联 合 分 布 律 为例  111 2 1 1 2 21 1 2 2112( , , , ) { , , , }{ } { } { }( 1 ) , 0 , 1 , 1 , 2 , , , , { 0 , 1 }nniiiin n n nnnniix n xinf x x x P X x X x X xP X x P X x P X xfxp p x i nx x x         即 ， 其 中 在 集 合 中 取 值1 2 n 1 2 n1 2 n 1 2 n说 明 ：（ 1 ） 统 计 量 可 以 仅 从 其 解 析 式 上 判 断 ；（ 2 ） 统 计 量 仍 然 为 随 机 变 量 ；（ 3 ） 统 计 量 的 分 布 （ 称 为 抽 样 分 布 ） 一 般 与 总 体 分 布 有 关 ，即 ， 可 以 依 赖 未 知 参 数 ；（ 4 ） 若 （ x ,x , ,x ） 为 样 本 （ X ,X , ,X ） 的 观 察 值 ，则 g （ x ,x , ,x ） 为 g （ X ,X , ,X ） 的 观 察 值 ， 称 之 为 统 计 量 的 值。 （ 当 样 本 的 值 给 定 ， 统 计 量 的 值 也 确 定 了 ）•统计量 121 2 1 212( , , ), , , ,( .),nnnnX X X X XX X X X X XgX X X统 计 量 ： 设 是 来 自 总 体 的 一 个（ 简 单 随 机 ） 样 本 ， g ( ) 是 的函 数。 若 中 不 含 有 任 何 的 未 知 参 数 ， 则 称g ( ) 为 一 统 计 量。 即 ， 简 而 言 之 ， 统 计 量是 样 本 的 不 含 任 何 未 知 参 数 的 函 数。              221 2 31 2 3 2 1 2 3323121, , , , 1 2 2 3 m a x , , 1 4 5 思 考 题 ： 设 在 总 体 中 抽 取 样 本 其 中 已 知 ， 未 知 指 出 在 中 哪 些 是 统 计 量 ， 哪 些 不 是 统 计 量 ， 为 什 么。       iiN X X XX X X X X X XX X X答 ： 只 有 (4) 不 是 统 计 量 ， 因 为 依 赖 于 未 知 参 数。  • 常用统计量 ：设（ X1,X2,„,X n）为取自总体 X的样本 11 1. niiXXn 样 本 均 值  111 1 , 2 ,1 3 . ( ) 2 ,样 本 矩 样 本 的 阶 ( 原 点 ) 矩 ：样 本 的 阶 中 心 矩 ：  nkkiinkkiik A X knk B X X kn2211 2 . (1 ),niiS X X Sn 样 本。