掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质

掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质内容摘要：

 的圆 P 0的半径，且 P0Q0⊥ ，圆 P0与准线相切． 解析： 过 P作 PK⊥ l(I为抛物线的准线 )于 K，则 PF=PK.  ∴ PA+PF=PA+PK.  ∴ 当 P点的纵坐标与 A点的纵坐标相同时 ，PA+PK最小 ． 此时 P点的纵  坐标为 y=1代入 y2=4x得 x= ，  即当 P点的坐标为 时 ， PA+PF最小 ．  答案 ： 变式 1： 已 知点 A(－ 2,1)， y2＝－ 4x的焦点是F， P是 y2＝－ 4x上的点，为使 PA＋ PF取得最小值， P点的坐标是 ________． 抛物线上一点与焦点 F连线的线段叫做焦半径 ． 过焦点 F的直线与抛物线交于 A， B， 则线段 AB称为焦点弦 ． 通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫抛物线的通径 ， 通径长为 2p， 这是 标准方程中 2p的一种几何意义 ， 而 p的几何意义则是焦点到准线的距离 ． 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则有： 标准方程 焦半径 AF 焦点弦长 AB y2＝ 2px(p0) AF＝ x1＋ AB＝ x1＋ x2＋ p y2＝－2px(p0) AF＝ － x1 AB＝ p－ x1－x2 x2＝2px(p0) AF＝ y1＋ AB＝ p＋ y1＋y2 x2＝－2py(p0) AF＝ － y1 AB＝ p－ y1－y2 【 例 2】 求 抛物线 y2＝ 2px的焦点弦长的最小值 ．  思路点拨： 设焦点弦所在直线 AB的倾斜角为 θ， 把直线 AB的方程  写成 ycos θ＝ sin θ ， 焦点弦长用 θ表示 ， 根据 θ的取值求最值 ． 解： 设 焦点弦所在直线的倾斜角为 θ， 则直线 AB的方程为 ycos θ=sin θ ， 如右图所示 ． 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 消去 y ， 得 sin2θx2p(2cos2θ+sin2θ)x+ sin2θ=0， ∴ x1+x2= .∴ AB=AF+BF=x1+x2+p = ， ∴ 当sin2θ=1， 即 θ= 时 ， AB取最小值 2p. 变式 2： 过 抛物线 y2＝ 2px(p0)的焦点 F， 引两条互相垂直的弦 AC， BD， 求  四边形 ABCD面积的最小值 ．  解： 由方程组 , 得4k2x2－ 4p(k2＋ 2)x＋ p2k2＝ 0.  设 A(x1， y1)， C(x2， y2)， 由公式 AC＝|x1＋ x2|＋ p， 得 AC＝ x1＋ x2＋ p  ＝ ，  同理可得 BD＝ 2p(k2＋ 1)． ∴ 四边形 ABCD的面积 S＝  ACBD＝。