怎样理解数学的理解何小亚

怎样理解数学的理解何小亚内容摘要：

运用到一个个具体的题目中去 . ● 学生理解数学，建构知识结构，可以体会到数学是一个有紧密，合理的内部联系的整体，这些联系是可以通过自己努力去探索，尝试性地建立起来的，这同时建立起比较正确的数学观和数学学习观等信念。 这些信念将会促进他们对数学内容，方法的理解和掌握，激发他们学习的内在动机 . 三．理解是进行中的动态过程 １．理解是一个 “ 谱 ” （范围、系列） 认知建构观点认为 ,理解是一个由学生自己积极地构造的过程 ,这个过程有发生 ,也有发展 .理解不是指接受现成的结构或是获得某种知识的最终状态 ,而是一个动态的 ,发展的过程 . 传统的观点认为 ,理解是学习的结果 ,是取得的成果 ,是一种终结的状态 . 数学教育家 Skemp将理解划分为 “ 工具性理解 ” 和 “ 关系性理解 ” [5]，将理解看成是一个有丰富内涵的，多个侧面的，多种成分的，应加以剖析的一个 “ 谱 ” 工具性理解，是一种语义性理解（符号 A所指代的事物是什么）或者一种程序性理解（一个规则 R所指定的每一步骤是什么，如何操作） 而关系性理解，则还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据。 工具性理解 ——知其然但不知其所以然 . 会做但不知道为什么可以这么做，重结果轻过程 . 关系性理解 ——知其然且知其所以然 .重过程教学 . Tom Kieren认为，工具性理解的学生并不是完全不知道为什么，总能在某种层次上知道 “ 为什么 ” ，理解不是全对，全错的结果，不存在全有全无两个极端，学习和理解不能截然地分开。 即任何学习都带有一定程度的理解。 ２．建构是螺旋式发展的 Piaget： 建构的过程的发展方式是螺旋上升的 . 数学体系的发展就是螺旋式的、往复递进式的 . 比如：数系的发展； 极限概念的发展 . 导数概念的核心 极限概念在历史发展进程中 ,不是一下子就严谨的 [7]  例如， Newton指出： “ 两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差别，则最终就成为相等。 ”  这个定义的表述并不严谨，只是接近于极限的直观表述：如果当 x无限接近 x。 时， f(x)无限地接近于常数 A，那么就说 f(x)以 A为极限  由于极限概念的不严谨，导致了无穷小悖论的出现：  简言之，增量在作差商时不等于零，约简后又等于零。  英国大主教 (16851753)攻击微分学的推导是 “ 分明的诡变 ”  法国数学家 (17891857)把无穷小视为以零为极限的变量，解决了无穷小 “ 似零非零 ” 的悖论。  他指出： “ 当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值。 ”  Cauchy的这一极限定义依然使用了几何直观的语言，如 “ 无限趋近 ” ，“ 要多小就多小 ” ，依然不够严谨。 极限的 定义是由德国数学家(18151897)给出： .)(l i m,)(,0,0,0.,)(000AxfAxfxxAxxfxx则有时使得当都存在若对任意的是一确定的数的某空心邻域内有定义在设函数 ２．建构是螺旋式发展的 人类对数学的认识，学生对数学的理解，实际上不是直线发展的，不是一次性完成的，需要通过螺旋形往复式的认识和再认识，逐步地更新和拓广自己的理解和体会 . ● Tom Kieren:理解是一个进行中的过程，它是来回往返地逐步递进的，其发展是持续的，而且不会存在终点 . 四、数学理解的动态生长 ——折返 Folding Back: Dynamics in the Growth of Mathematical Understanding. 英国的 : 数学理解是一个进行中的、动态的、分水平的、非线性的发展，是反反复复的建构组织过程 .它被分成 8个水平层次 . 理解的发展不是指在某个时候做什么数学题，而是指从一个数学概念发生到现在所理解的数学概念之间所经历的路径 .  Pirie和 Kieren在 1989 PME研讨会议中提出这个数学理解的动态成长理论。  这一理论模式就是要去看个体在一个问题上所呈现的理解，这个理解是如何出现，以及在不同的时期时这个理解是如何发展的。 数学认知动态发展的观察方法  不给复杂的项目来检验他的数学知识的获得  在小组里给一些超越这个时期的特殊的数学题目  纪录和观察他们运作讨论的情形  分析他们的对话及所写下的文字叙述 创造 数学理解动态成长理论的８个阶层 ① 原始 认识 (Primitive Knowing： PK) 结构 观察 形式化 注意性质 成心像 造心像 原始 认识 ② 造心像 (Image Making： IM) ③ 成心像 (Image Having： IH) ④ 注意性质 (Property Noticing： PN) ⑤ 形式化 (Formalizing： F) ⑥ 观察 (Observing： O) ⑦ 结构 (Structuring： S) ⑧ 创造 (Inventing： I) ①。