对数函数概念和性质

对数函数概念和性质内容摘要：

R . ∵ x2＋ 4 ≥ 4 ， ∴ log2( x2＋ 4) ≥ log24 ＝ 2. ∴ y ＝ log2( x2＋ 4) 的值域为 { y | y ≥ 2} ． ( 2) 设 u ＝ 3 ＋ 2 x － x2， 则 u ＝－ ( x － 1)2＋ 4 ≤ 4. ∵ u 0 ， ∴ 0 u ≤ 4. 又 y ＝ log 12 u 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数， ∴ log 12 u ≥ log 12 4 ＝－ 2 ， ∴ y ＝ log 12 (3 ＋ 2 x － x2) 的值域为 { y | y ≥ － 2} ． [ 例 3] 判断下列函数的奇偶性． ( 1) y ＝ lo g2| x |； ( 2) y ＝ lg1 － x1 ＋ x； ( 3) y ＝ l g ( x － 1) ＋ lg( x ＋ 1) ． 对数型复合函数的奇偶性 3 [ 解析 ] ( 1) 设 f ( x ) ＝ log2| x | ， f ( － x ) ＝ lo g2|－ x | ＝ log2| x | ＝f ( x ) ， ∴ f ( x ) ＝ lo g2| x |为偶函数． ( 2) 设 f ( x ) ＝ lg1 － x1 ＋ x， f ( － x ) ＝ lg1 ＋ x1 － x＝ lg (1 － x1 ＋ x)－ 1＝－ lg1 － x1 ＋ x＝－ f ( x ) ， ∴ y ＝ lg1 － x1 ＋ x为奇函数． ( 3) 由于 x － 1 0x ＋ 1 0， ∴ x 1 ，定义域不关于原点对称． ∴ 此函数不具备奇偶性． 判断下列函数奇偶性： ( 1) y ＝ lo g2x2； ( 2) y ＝ | lo g 12 x |； ( 3) y ＝ l g ( 1 － x ) ＋ lg(1 ＋ x ) ． [ 答案 ] ( 1) 偶函数； ( 2) 非奇偶性； ( 3) 偶函数． • 4． 若函数 y＝ log2(x2－ 2)的值域为 [1，log214]， 则其定义域为 ________． • 解析 ∵ 1≤log2(x2－ 2)≤log214， • ∴ 2≤x2－ 2≤14， ∴ 4≤x2≤16， • ∴ 2≤x≤4或－ 4≤x≤－ 2， • ∴ 定义域为 [－ 4， － 2]∪ [2,4]． • 答案 [－ 4， － 2]∪ [2,4] 4 ． 设 a 1 ，函数 f ( x ) ＝ l ogax 在区间 [ a, 2 a ] 上的最大值与最小值之差为12，则 a ＝ ( ) A. 2 B ． 2 C ． 2 2 D ． 4 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由 a 1 知， f ( x ) ＝ logax 在区间 [ a, 2 a ] 上为增函数，所以 f ( x )m ax＝ lo ga2 a ＝ 1 ＋ loga2 ， f ( x )m in＝ logaa ＝ 1 ，所以 loga2＝12，得 a ＝ 4. [ 例 1] 已知 f ( x ) ＝ ( 6 － a ) x － 4 a ( x 1 )logax ( x ≥ 1 )是 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上的增 函数，求 a 的取值范围． [ 分析 ] f ( x ) 在 R 上单调增，故在 ( － ∞ ， 1) 和 [1 ，＋∞ ) 上都单调增，且在 [1 ，＋ ∞ ) 上的最小值不小于 (6 －a ) 1 － 4 a . [ 解析 ] f ( x ) 是 R 上的增函数，则当 x ≥ 1 时， y ＝ logax 是增函数， ∴ a 1. 又当 x 1 时，函数 y ＝ (6 － a ) x － 4 a 是增函数， ∴ 6 － a 0 ， ∴ a 6. 又由 (6 － a ) 1 － 4 a ≤ loga1 得， a ≥65. ∴65≤ a 6. [例 2] 作出函数 y＝ |log2(x＋ 1)|＋ 2的图象，并指出其单调区间． [思路点拨 ] 按下列顺序作图，作图后再观察得出单调区间． y＝ log2x→ y＝ log2(x＋ 1)→ y＝ |log2(x＋ 1)|→ y＝|log2(x＋ 1。