了解函数单调性和导数的关系能利用导数研究函数的单调性,

了解函数单调性和导数的关系能利用导数研究函数的单调性,内容摘要：

综上， a的取值范围为 变式 x＝ 1和 x＝ 2是函数 f(x)＝ x5＋ ax3＋ bx＋ 1的两个极值点 ． (1)求 a和 b的值； (2)求 f(x)的单调区间 ． 解答： (1)∵ f′(x)＝ 5x4＋ 3ax2＋ b， 由假设知： f′(1)＝ 5＋ 3a＋ b＝ 0 f′(2)＝ 24 5＋ 22 3a＋ b＝ 0， 解得 a＝ ， b＝ 20. (2)由 (1)知 f′(x)＝ 5x4＋ 3ax2＋ b＝ 5(x2－ 1)(x2－ 4)＝ 5(x＋ 1)(x＋ 2)(x－ 1)(x－ 2) 当 x∈ (－ ∞， － 2)∪ (－ 1,1)∪ (2， ＋ ∞)时 ， f′(x)＞ 0 当 x∈ (－ 2， － 1)∪ (1,2)时 ， f′(x)＜ 0， 因此 f(x)的单调增区间是 (－ ∞， － 2)， (－ 1,1)， (2， ＋ ∞)， f(x)的单调减区间是 (－ 2， － 1)， (1,2)． 1. 此类题主要考查求函数的极值以及极值的应用 ， 经常与单调性 、 最值知识结 合应用于与函数有关的数学问题中 ， 高考时可以以选择题 、 填空题形式出 现 ， 也可出现在中档大题中 ． 2． 应注意函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处可导 ， 且函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处取得极值 ， 则 f′(x0)＝ 0. 3． 要特别关注三次函数的单调性和极值问题 ． 【 例 2】 已知函数 f(x)＝ x(x－ a)(x－ b)在 x＝ s， x＝ t处取到极值 ， 其中 a0， b0. (1)设 A(s， f(s))， B(t， f(t))， 求证线段 AB中点在曲线 y＝ f(x)上 ； (2)若 a＋ b2 ， 判断过原点且与曲线 y＝ f(x)相切的两条直线是否垂直 ． 解答： (1)f(x)＝ x(x－ a)(x－ b)＝ x3－ (a＋ b)x2＋ abx， f′(x)＝ 3x2－ 2(a＋ b)x＋ ab， 由已知条件 即 则 3(s2－ t2)－ 2(a＋ b)(s－ t)＝ 0， ∴ s＋ t＝ ， ∴ 线段 AB中点在曲线 y＝ f(x)上． (2)设过原点且与曲线 y＝ f(x)相切的直线与曲线的切点为 (t， t3－ (a＋ b)t2＋ abt)，则 ＝ 3t2－ 2(a＋ b)t＋ ab，整理得 t＝ ，或 t＝ 0(舍去 )． 则过原点的与曲线 y＝ f(x)相切的两条直线的斜率分别为 ab， 因此过原点且与曲线 y＝ f(x)相切的两条直线不垂直． 变式 2. 已 知函数 f(x)＝ ax3＋ cx＋ d(a≠0)。