一个人若怀疑数学的极端可靠性,他就会陷入混乱之中,……

一个人若怀疑数学的极端可靠性,他就会陷入混乱之中,……内容摘要：

贝尔 非欧几何的诞生 二、几何学的变革 1733年 ， 萨凯里： 《 欧几里得无懈可击 》 萨凯里四边形 锐角。 直角。 钝角。 锐角。 三角形内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；等等 无逻辑矛盾，但不合乎情理。 非欧几何的诞生 二、几何学的变革 1763年 , 克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾 , 只是得到了似乎与经验不符的结论 . 开始怀疑平行公设能否由其他公理加以证明 . 1766年，兰伯特 :《 平行线理论 》 兰伯特四边形 锐角。 直角。 钝角。 兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾 ， 而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话 ， 就提供了一种可能的几何。 因此 ， 兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。 非欧几何的诞生 二、几何学的变革 C. F. Gauss, 17771855 高斯从 1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来 ， 并从 1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。 他起先称之为“ 反欧几里得几何 ” ，最后改称为 “ 非欧几里得几何 ” ， 所以“ 非欧几何 ” 这个名称正是来自高斯。 非欧几何的诞生 二、几何学的变革 J. Bolyai 18021860 1832年 2月 14日 ， 《 绝对空间的科学 》 其中论述的所谓“ 绝对几何 ” 就是非欧几何。 F. Bolyai 17751856 非欧几何的诞生 二、几何学的变革 1826年在喀山大学发表了 《 简要论述平行线定理的一个严格证明 》 的演讲 ， 报告了自己关于非欧几何的发现。 1829年发表了题为 《 论几何原理 》 的论文 ， 这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献 ， 但由于是用俄文刊登在《 喀山通讯 》 上而未引起数学界的注意。 Н. И. Лобачевский 17921856 非欧几何的诞生 二、几何学的变革 罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言： 通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线与已知直线不相交。 作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理。 罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学 ——非欧几里得几何学。 欧几里得几何学在这里仅成了罗巴切夫斯基几何的一个特例。 非欧几何的诞生 二、几何学的变革 1854年，黎曼发表论文《 关于几何基础的假设 》 B. Riemann, 18261866 发展了罗巴切夫斯基等人的思想，并建立了一种更广泛的几何。 即现在所称的黎曼几何。 罗巴切夫斯基几何以及欧几里得几何都只不过是这种几何的特例。 黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的。 非欧几何的诞生 二、几何学的变革 在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率恒等于零。 黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。 在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。 这实际上是以前面提到的萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学。 非欧几何的诞生 二、几何学的变革 在黎曼之前，从萨凯里到罗巴切夫斯基，都认为钝角假设与直线可以无限延长的假定矛盾，因而取消了这个假设。 但黎曼区分了 “ 无限 ” 与 “ 无界 ” 这两个概念，认为直线可以无限延长并不意味着就其长短而言是无限。