一、微元法

一、微元法内容摘要：

 )433(41  )433(21  V 例 6. 求圆柱体 x2+y2≤ax(a0)被球面 x2+y2+z2=a2截得的含在球面内的立体的体积 . 解 ： V=4V1 1d1 vV  2220ddd yxaDzyxy z x z y x D  Dyxyxa dd222 rrraa dd c os02220    20 33 )ds i n(131az y x D )322(31 3  a)322(34 3  aV例 7. 计算由椭圆抛物面 z=x2+2y2及抛物面 z=2x2所围立体体积 . 解： z=x2+2y2 z=2x2  x2+y2=1 D: x2+y2≤1  vV d 22222ddd xyxDzyx Dyxyxx d)]d2()[(2 222D x y z  Dyxyx d)d1(2 22  10 220 d)1(d2 rrr1042]42[4 rr  四、弧长  LL sS d例 8. 求空间曲线 : x=3t, y=3t2, z=2t3从点 (0, 0, 0) 到点 (3, 3, 2)的一段弧长 解 ： (0, 0, 0) t=0。 (3, 3, 2)  t=1 ttztytxs d )(39。 )(39。 )(39。 d 222 ttt d 36369 42  tt d 1)2(3 2   10 2 d)12(3 ttS =5 五、质量 几何形体  的质量分布密度为 (X), X 则 d M= (X)d 故   d)( XM (1) 平面薄板 D, 质量面密度 (x, y)  d),(DyxM(2) 立体  ：质量体密度  (x, y, z) vzyxM d),( (3) 曲线型物体 L( ) ：质量线密度  (x, y) ( (x, y, z)) syxM L d),( )d),(( szyxM  (4) 曲面型物体  ：质量面密度  (x, y, z) SzyxM d),( 例 9. 设球面 x2+y2+z2=2及锥面 22 yxz 围成立体 ， 其质量体密度与立体中的点到球心的距离之平方成正比 ， 且在球面上等于 1. 试求该立体的质量 . 解： 体密度为  (x, y, z)=k。