16744大数定理与中心极限定理

16744大数定理与中心极限定理内容摘要：

1,X2, … ,Xn相互独立 , 且都服从以 p为参数的 01分布 . 因而 E(Xk)=p, D(Xk)=p(1p) (k=1,2, … ,n), 由定理 2即得 121l i m 1 ,()nn P X X X pn e + + + 即 l i m 1AnnP pne 18 注 : ① 伯努利大数定律是定理 2 的推论 , 它表明 : 当重复试验次数 n 充分大时 , 事件 A发生的频率Ann依概率收敛于事件 A 发生的概率 p . 定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性 . 在实际应用中 , 当试验次数很大时 , 便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率 . 19 ② 如果事件 A的概率很小 , 则由伯努利大数定律知事件 A发生的频率也是很小的 , 或者说事件 A很少发生 . 即 概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生 , 这一原理称为小概率原理 , 它的实际应用很广泛 . 但应注意到 , 小概率事件与不可能事件是有区别的 . 在多次试验中 , 小概率事件也可能发生 . 20 四 , 中心极限定理 中心极限定理描述如下 : 当一个随机变量 X, 是由 n个相互独立 (可以不同分布不同数学期望不同方差 ,但是方差要存在 )的随机变量 X1,X2, … ,Xn相加构成 , X=X1+X2+… +Xn, 则只要这 n个随机变量的方差是差不多大的 , n是足够大的 , 则 X近似服从正态分布 , X的数学期望和方差 , 就是各个 X1,X2, … ,Xn的数学期望之和与方差之和 . (一般 n要大于 20以上 ) 21 一个常用到中心极限定理的情况是二项分布 , 即 X~b(n,p), 其中 n较大 , 通常要大于20, 则 X是 n个 01分布的相互独立的随机变量 X1,X2, … ,Xn之和 . 而因为 E(X)=np, D(X)=np(1p), 因此近似有 X~N(np, np(1p)). 这被称为棣莫佛 拉普拉斯定理 . 22 例 2 一盒同型号螺丝钉共有 100个 , 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量 , 期望值是 100g, 标准差是 10g, 求一盒螺丝钉的重量超过 . 解 设 Xi为第 i个螺丝钉的重量 , i=1,2, … ,100,且它们之间独立同分布 , 于是一盒螺丝钉的重量 X=X1+X2+… +Xn近似服从正态分布 , 因 E(Xi)=100, D(Xi)=100, i=1,2, … ,100,则E(X)=10000, D(X)=10000, 近似有X~N(10000, 1002) 23 求一盒螺丝钉的重量超过 . X~N(10000, 1002), 因此  10000 10200 10000。